Forma modulare: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], una '''forma modulare''' è una [[funzione olomorfa]] sul [[semipiano complesso superiore complesso]] che verifica un'[[equazione funzionale]] rispetto all'azione di particolari [[sottogruppo|sottogruppi]] del [[gruppo modulare]] e che soddisfa alcune condizioni crescita.

La teoria delle forme modulari è parte dell'[[analisi complessa]] ma le sue applicazioni principali sono nell'ambito della [[teoria dei numeri]]. Le forme modulari compaiono anche in altre aree, come la [[topologia algebrica]] e la [[teoria delle stringhe]].

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Una forma modulare di peso ''k'' per il [[gruppo modulare]]

:<math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}) = \left \{ \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right ), a, b, c, d \in \mathbb Z, ad-bc = 1 \right \}</math>

è una funzione ''f'' definita sul [[semipiano complesso superiore complesso]] <math>\mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C}, \text{Im}(z) > 0\} </math> a valori nell'insieme dei [[numeri complessi]] che soddisfa tre condizioni:

:(1) è una [[funzione olomorfa]] su <math>\mathbb{H}</math>;

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:(3) è ''olomorfa alla cuspide'', cioè ''f'' deve essere olomorfa per <math>z \to i\infty</math> (cioè per <math>\text{Im}(z) \to +\infty</math>). Il termine ''cuspide'' è dovuto agli aspetti geometrici della teoria.

Il peso ''k'' è solitamente un [[numero intero]] e l'insieme delle forme modulari di peso ''k'' rispetto a <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math> è uno [[spazio vettoriale]] su <math>\mathbb{C}</math> si indica con <math>\mathcal{M}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z}))</math>.

Il peso ''k'' è solitamente un [[numero intero]].

La seconda condizione, detta anche condizione di ''modularità debole'', può essere riformulata. Siano

:<math>S = \left ( \begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right )</math>

:<math>T = \left ( \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>

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== Voci correlate ==

* [[Forma cuspidale]]

* [[Forma automorfa]]

* [[Semipiano superiore complesso]]

* [[Gruppo modulare]]

* [[Serie di Fourier|Sviluppo in serie di Fourier]]