Funzione differenziabile: differenze tra le versioni

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== Matrice Jacobiana ==

{{vedi anche|Matrice Jacobiana}}

Se una funzione è differenziabile in un punto, allora tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue{{Citation needed|reason=dimostrazionein continuità?}}.un In[[intorno]] particolaredel punto allora la funzione è differenziabile nel punto, dette:ovvero è di [[classe C di una funzione|classe]] <math>C^1</math>.

Dette:

:<math>\{\mathbf e_j\}_{1 \le j \le n} \qquad \{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m} </math>

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:<math>\mathbf L(\mathbf x )\cdot \mathbf e_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i </math>

L'[[trasformazione lineare|applicazione lineare]] <math>\mathbf L(\mathbf x_0)</math> è quindi [[matrice associatadi trasformazione|rappresentata]] nelle basi canoniche da una [[matrice (matematica)|matrice]] <math>m \times n</math>, detta [[matrice jacobiana]] <math>J_F</math> di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.

Il j-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 217|rudin}}</ref>

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A seconda delle dimensioni <math> m </math> e <math> n </math>, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

* Se <math> m = 1 </math>, la matrice jacobiana si riduce ad un [[vettore (matematica)|vettore]] <math>n</math>-dimensionale, chiamato [[gradiente]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>. In tal caso si ha:

:<math> L(\mathbf x ) = \nabla F (\mathbf x ) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F (\mathbf {x})}{\partial x_j} \mathbf e_i \qquad \lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { {F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-{F}(\mathbf{x}_0)-\nabla F(\mathbf{x}_0)\cdot \mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = {0}</math>

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* Se <math> n = 1 </math>, la funzione <math>F</math> parametrizza una [[curva (matematica)|curva]] in <math>\mathbb R^m</math>, il suo ''differenziale'' è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

* Se <math> m = n = 1 </math>, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di [[funzione derivabile|derivabilità]]. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla [[derivata]].

== Differenziabilità in analisi complessa ==