Geodetica: differenze tra le versioni

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Versione delle 23:22, 9 mar 2014

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== Introduzione ==

=== Superfici e varietà ===

[[File:Small and great circles 3d.png|thumb|left|250px|Un [[cerchio massimo]] (in rosso) è una geodetica. Il cerchio blu non è una geodetica.]]

Il termine "geodetica" deriva da [[geodesia]], la scienza della misurazione delle dimensioni e della forma del [[terra|globo terrestre]]; nel suo significato originale, una geodetica era il cammino più breve tra due punti sulla superficie della Terra, ossia un arco di [[cerchio massimo]]. Gli archi di [[meridiano (geografia)|meridiani]] e di [[equatore]] sono geodetiche, mentre gli altri [[parallelo (geografia)|paralleli]] no.

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=== Relatività generale ===

[[File:Geodesiques.png|thumb|right|350pxupright=1.6|Tre tipi di geodetica in un [[campo gravitazionale]] generato da un [[pianeta]], situato al centro di questo modello di spazio a due dimensioni. Una geodetica descrive un corpo che cade verticalmente verso il pianeta; un'altra descrive l'orbita circolare di un [[satellite naturale|satellite]]; un'altra ancora descrive un corpo la cui orbita è solamente curvata dal pianeta.]]

Le geodetiche hanno assunto un significato [[fisica|fisico]] importante all'inizio del [[XX secolo]], per il loro ruolo nella [[relatività generale]]. Secondo la relatività, lo [[spaziotempo]] è infatti uno spazio "curvo" di dimensione 4, in cui le geodetiche descrivono la traiettoria di un [[punto materiale]] in presenza di un [[campo gravitazionale]]. Sono quindi geodetiche le traiettorie di un sasso che cade, di un [[Satellite artificiale|satellite]] in orbita e persino di un raggio di luce.

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Il V postulato dice che per ogni retta e ogni punto non contenuto in questa, esiste ''esattamente una'' retta passante per il punto parallela alla prima. Lo stesso enunciato espresso per le geodetiche (dove "parallele" vuol dire "che non si intersecano") è infatti falso in molti casi. Ad esempio, non esistono geodetiche parallele nella [[sfera]] (due cerchi massimi si incontrano sempre), mentre se ne trovano infinite nello [[spazio iperbolico]].

[[File:Sphere closed path.png|thumb|right|La somma degli angoli interni di un triangolo su una sfera, che ha [[curvatura gaussiana]] positiva, è maggiore di <math>\pi</math>.]]

In uno spazio non euclideo, molti dei teoremi della [[geometria piana]] non sono più validi. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un [[triangolo]], i cui lati sono 3 geodetiche, può essere diversa da <math>\pi</math>. Ad esempio, sulla [[sfera]] questa somma è sempre superiore a <math>\pi</math>.