Teorema spettrale: differenze tra le versioni

Versione delle 12:02, 4 gen 2014

Versione delle 00:55, 5 gen 2014

Riga 3:

In [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita, il teorema spettrale asserisce che ogni [[endomorfismo simmetrico]] di uno [[spazio vettoriale reale]] dotato di un [[prodotto scalare]] ha una [[base ortonormale]] formata da [[autovettore|autovettori]]. Equivalentemente, ogni [[matrice simmetrica]] reale è [[matrici simili|simile]] ad una [[matrice diagonale]] tramite una [[matrice ortogonale]].

In dimensione infinita, ilesistono teoremadiverse formulazioni. In quella che utilizza gli operatori di moltiplicazione, affermastabilisce che ogni operatore di moltiplicazione è un [[operatore autoaggiunto]] (densamente definito), ed ogni operatore autoaggiunto è [[Equivalenza unitaria|unitariamente equivalente]] ad un operatore di moltiplicazione.<ref>{{springerEOM|titolo=Unitarily-equivalent operators|autore= V.I. Sobolev }}</ref>

Il teorema spettrale fornisce anche una decomposizione canonica dello spazio vettoriale, chiamata '''decomposizione spettrale''' o '''decomposizione agli autovalori'''.

Riga 82:

:<math> [T \psi] (x) = f(x) \psi(x) \quad </math>

il cui dominio è lo spazio delle funzioni <math>\psi</math> per le quali il membro di destra della precedente relazione è in <math>L^2</math>. Il teorema stabilisce allora che ogni operatore autoaggiunto è [[Equivalenza unitaria|unitariamente equivalente]] ad un operatore di moltiplicazione. In particolare, un [[operatore unitario]] <math>U</math> è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione <math>f \in L^2(\mu)</math> [[funzione misurabile|misurabile]] rispetto alla [[sigma-algebra]] di uno [[spazio di misura]] finito <math>(X,\mu)</math> con [[misura di Borel]] <math>\mu</math>. Si può quindi anche dire che per ogni operatore autoaggiunto <math>T</math> agente sullo spazio di Hilbert <math>H</math> esiste un operatore unitario che costruisce una mappa [[isometria|isometricamente]] [[isomorfismo|isomorfa]] di <math>H</math> nello spazio <math>L^2(M,\mu)</math>, dove <math>T</math> è rappresentato come un operatore di moltiplicazione.

===Operatori limitati===

Riga 101:

Una tale scrittura di <math>A</math> è detta ''rappresentazione spettrale'' dell'operatore.

Come corollario, segue che esiste una misura <math>\mu</math> su uno [[spazio di misura]] <math>M</math> ed esiste un [[operatore unitario]]:

:<math>U:H \to L^2(M,d\mu)</math>