Teorema spettrale: differenze tra le versioni

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:<math> S(\varphi)(t) = t\cdot\varphi(t) </math>

è continuo e non ha autovettori. Più in generale, l'operatore che moltiplica ogni funzione per una funzione misurabile fissata <math>f</math> è limitato e autoaggiunto, ma ha autovettori solo per scelte molto particolari di <math>f</math>. Dato uno [[spazio di misura]] <math> (X, \Sigma, \mu) </math> numerabilmente additivo e di una [[funzione misurabile]] <math>f</math> a valori reali su <math>X</math>, un ''operatore di moltiplicazione'' è un operatore <math>T</math> della forma:

La forma più generale del teorema richiede la presenza di uno [[spazio di misura]] <math> (X, \Sigma, \mu) </math> numerabilmente additivo e di una [[funzione misurabile]] <math>f</math> a valori reali su <math>X</math>. Un ''operatore di moltiplicazione'' è un operatore <math>T</math> della forma:

:<math> [T \psi] (x) = f(x) \psi(x) \quad </math>

il cui dominio è lo spazio delle funzioni <math>\psi</math> per le quali il membro di destra della precedente relazione è in <math>L^2</math>. Il teorema stabilisce allora che ogni operatore autoaggiunto è [[Equivalenza unitaria|unitariamente equivalente]] ad un operatore di moltiplicazione. In particolare, un [[operatore unitario]] <math>U</math> è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione <math>f \in L^2(\mu)</math> [[funzione misurabile|misurabile]] rispetto alla [[sigma-algebra]] di uno [[spazio di misura]] finito <math>(X,\mu)</math> con [[misura di Borel]] <math>\mu</math>. Si

Nel puòcaso quindigenerale, che comprende anche direoperatori chenon limitati, per ogni operatore autoaggiunto <math>T</math> agente sullo spazio di Hilbert <math>H</math> esiste un operatore unitario che costruisce una mappa [[isometria|isometricamente]] [[isomorfismo|isomorfa]] di <math>H</math> nello spazio <math>L^2(M,\mu)</math>, dove <math>T</math> è rappresentato come un operatore di moltiplicazione.

===Operatori limitati===