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Se ''V'' e ''W'' sono considerati come spazi sul campo ''K'' come sopra, si parla di mappe ''K''-lineari. Per esempio la coniugazione di [[numero complesso | numeri complessi]] è una mappa ''R''-lineare '''C''' → '''C''', ma non è '''C'''-lineare.

== Esempi ==

== Definition and first consequences ==

* La moltiplicazione per una costante è una trasformazione lineare da '''R''' a '''R'''.

Formally, if ''V'' and ''W'' are vector spaces over the same ground [[field (mathematics)|field]] ''K'', we say that ''f'' : ''V'' → ''W'' is a linear transformation if for any two vectors ''x'' and ''y'' in ''V'' and any [[scalar]] ''a'' in ''K'', we have

:<math>f(x+y)=f(x)+f(y) \,</math> (additivity)

:<math>f(ax)=af(x) \,</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; (homogeneity).

This is equivalent to saying that ''f'' &nbsp; "preserves linear combinations", i.e., for any vectors ''x''₁, ..., ''x''_''m'' and scalars ''a''₁, ..., ''a''_''m'', we have

:<math>f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m).</math>

* Se ''A'' è una [[matrice]] ''m'' &times; ''n'', allora ''A'' definisce una trasformazione lineare da '''R'''^''n'' a '''R'''^''m'' mandando il [[vettore colonna]] ''x'' &isin; '''R'''^''n'' nel vettore colonna ''Ax'' &isin; '''R'''^''m''. Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali [[finito-dimensionali | finito-dimensionale]] sono di questo tipo. Si veda la sezione seguente.

Occasionally, ''V'' and ''W'' can be considered as vector spaces over different ground fields, and it is then important to specify which field was used for the definition of "linear". If ''V'' and ''W'' are considered as spaces over the field ''K'' as above, we talk about ''K''-linear maps. For example, the conjugation of [[complex numbers]] is an '''R'''-linear map '''C''' &rarr; '''C''', but it is not '''C'''-linear.

* L'[[intergrazione|integrale]] è una mappa lineare dallo spazio delle funzioni a valori reali integrabili in qualche [[intervallo]] a '''R'''

* La [[derivata]] è una mappa lineare dallo spazio di tutte le funzioni differenziabili nello spazio di tutte le funzioni.

== Examples ==