Modulo (algebra): differenze tra le versioni

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Per i moduli, così come per le altre struttura algebriche come i gruppi e gli anelli, è possibile dare le definizioni di sottostruttura e di omomorfismo. Le definizioni sono date nel caso di ''A''-moduli sinistri; definizioni simmetriche valgono anche nel caso di moduli destri.

Un sottogruppo ''N'' di ''M'' (come gruppo abeliano) che è stabile per moltiplicazione scalare (ovvero tale che <math>av\in N</math> per ogni <math>v\in N</math>) è detto '''sottomodulo''' di ''M''; in altri termini, un sottomodulo di ''M'' è un sottoinsieme ''N'' che è esso stesso un ''A''-modulo (con le stesse operazioni di ''M''). L'intersezione <math>N_1\cap N_2</math> e la somma <math>N_1+N_2=\{v+w|v\in N_1,~w\in N_2\}</math> di sottomoduli di ''M'' sono ancora sottomoduli; tali operazioni possono essere estese a qualunque insieme (anche infinito) di sottomoduli.

Dato un modulo ''M'' e un suo sottomodulo ''N'', il loro quoziente come moduli <math>M/N</math> coincide con il loro quoziente come gruppi abeliani; l'insieme <math>M/N</math> eredita, inoltre, una struttura di ''A''-modulo. In particolare, poiché gli ideali (bilateri) ''I'' di ''A'' sono ''A''-moduli, anche i quozienti (come anello) <math>A/I</math> sono ''A''-moduli.

Un '''omomorfismo di moduli''' è un omomorfismo di gruppi abeliani <math>f:M_1\longrightarrow M_2</math> che rispetta anche la struttura di modulo, nel senso che <math>a\cdot f(v)=f(av)</math> per ogni <math>a\in A</math>, <math>v\in M</math>. L'insieme degli elementi di <math>M_1</math> la cui immagine è 0 forma un sottomodulo, detto ''nucleo''nucleo dell'omomorfismo'''; i [[teoremi di isomorfismo]] validi per i gruppi si trasferiscono immediatamente al caso dei moduli.

L'insieme degli omomorfismi tra due ''A''-moduli ''M'' ed ''N'' è esso stesso un ''A''-modulo, indicato con <math>Hom(M,N)</math> (oppure <math>Hom_A(M,N)</math> se è necessario chiarire quale sia l'anello base), definendo le operazioni come

*<math>(f+g)(v)=f(v)+g(v)</math> e

*<math>(af)(v)=a(f(v))</math>.

Per ogni ''A''-modulo ''M'' si ha un '''isomorfismo canonico''' <math>M\simeq Hom(A,M)</math>.

Un omomorfismo di ''A''-moduli <math>\phi:M_1\longrightarrow M_2</math> induce, per ogni ''A''-modulo, gli omomorfismi