Funzione differenziabile: differenze tra le versioni

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Versione delle 16:45, 23 apr 2015

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In [[matematica]], in particolare in [[analisi matematica]] e [[geometria differenziale]], una '''funzione differenziabile''' in un punto è una [[Funzione (matematica)|funzione]] che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una [[trasformazione lineare]] in un intorno abbastanza piccolo di quel punto. Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile allora è derivabile nel punto poiché esistono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di [[funzione derivabile]] a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un [[iperpiano]] tangente.

Una funzione può essere differenziabile <math> k </math> volte, e si parla in questo caso di funzione di [[Classe C di una funzione|classe]] <math>C^k</math>. Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta [[funzione liscia|liscia]]. Nell'[[analisi funzionale]] le distinzioni fra le varie classi <math> C^k </math> sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.

== Definizione ==

[[File:Tangent to a curve.svg|thumb|right|Una funzione da <math>\R</math> in <math>\R</math> è [[funzione derivabile|derivabile]] in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al [[grafico di una funzione|grafico]] della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di ''funzione differenziabile''.]]

Una [[funzione (matematica)|funzione]]:

:<math>\mathbf{F}:\colon U \rightarrow \mathbb R^m</math>

definita su un [[insieme aperto]] dello [[spazio euclideo]] <math> \mathbb R^n </math> è detta differenziabile in un punto <math>\mathbf{x}_0</math> del [[dominio (matematica)|dominio]] se esiste una [[applicazione lineare]]:

:<math>\mathbf{L}:\mathbb colon\R^n \rightarrow \mathbb R^m</math>

tale che valga l'approssimazione:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 213|rudin}}</ref>

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ed in tal caso si ha:

:<math>L = f'(x) \ .</math>

== Matrice Jacobiana ==

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:<math>\{\mathbf e_j\}_{1 \le j \le n} \qquad \{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m} </math>

le [[base canonica|basi canoniche]] di <math> \mathbb R^n </math> e <math> \mathbb R^m </math> rispettivamente, si ha:

:<math>\mathbf L(\mathbf x )\cdot \mathbf e_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i </math>

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L'[[trasformazione lineare|applicazione lineare]] <math>\mathbf L(\mathbf x_0)</math> è quindi [[matrice di trasformazione|rappresentata]] nelle basi canoniche da una [[matrice (matematica)|matrice]] <math>m \times n</math>, detta [[matrice jacobiana]] <math>J_F</math> di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.

Il <math>j</math>-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 217|rudin}}</ref>

:<math>\mathbf L(\mathbf x )\mathbf{h} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} h_j \right] \mathbf u_i = J_F \mathbf h = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}\mathbf h </math>

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== Differenziabilità in analisi complessa ==

{{vedi anche|Funzione olomorfa}}

Sia <math>U</math> un [[insieme aperto|sottoinsieme aperto]] del [[piano complesso]] <math>\mathbb C</math>. Una funzione <math> f:\colon U\to\mathbb C </math> è ''differenziabile in senso complesso'' (<math>\mathbb C</math>-differenziabile) in un punto <math>z_0 </math> di <math> U </math> se esiste il [[limite di una funzione|limite]]:

:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 } </math>

Il limite va inteso in relazione alla [[spazio topologico|topologia]] del piano. In altre parole, per ogni [[successione (matematica)|successione]] di numeri complessi che [[limite di una successione|convergono]] a <math>z_0</math> il [[rapporto incrementale]] deve tendere allo stesso numero, indicato con <math>f'(z_0) </math>. Se <math> f </math> è differenziabile in senso complesso in ogni punto <math>z_0 </math> di <math> U </math>, essa è una funzione olomorfa su <math> U </math>. Si dice inoltre che <math> f </math> è olomorfa nel punto <math>z_0</math> se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che <math> f </math> è olomorfa in un insieme non aperto <math>A</math> se è olomorfa in un aperto contenente <math>A</math>.

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa <math>f(z) \equiv f(x + iy)=u(x,y)+ i \, v(x,y)</math> è olomorfa allora <math> u </math> e <math> v </math> possiedono [[derivata parziale]] prima rispetto a <math> x </math> e <math> y </math> e soddisfano le [[equazioni di Cauchy-Riemann]]:

:<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,</math>

In modo equivalente, la [[derivata di Wirtinger]] <math>\partial f / \partial\overline{z}</math> di <math>f</math> rispetto al [[complesso coniugato]] <math> \overline{z} </math> di <math> z </math> è nulla.

== Proprietà delle funzioni differenziabili ==

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* Una funzione differenziabile in un punto <math>\mathbf x_0</math> è [[funzione continua|continua]] in <math>\mathbf x_0</math>. Infatti:

::<math>\lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)= \lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}\frac {F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-A \mathbf h} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}+ {A \mathbf h} = \mathbf 0</math>

:per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.

* Se <math>F:\mathbb{colon\R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m</math> è una funzione differenziabile in <math>\mathbf x_0</math>, allora essa ammette tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] in <math>\mathbf x_0</math>. Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:

::<math>F(x,y)=\left\{

\begin{matrix}

0 & (x,y)=(0,0) \\

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\right.</math>

:è continua ed ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in <math>(0,0)</math> la funzione non sianosia continuecontinua impedisce la sua differenziabilità in <math>(0,0)</math>. Infatti, si verifica che il limite del rapporto incrementale calcolato nell'origine lungo una direzione qualsiasi esiste finito; ma prendendo in considerazione, ad esempio, le derivate parziali in [[coordinate polari]], si nota come non abbiano valore unico in un intorno di <math>(0,0)</math>, ma varino in funzione della direzione di avvicinamento all'origine.

:Tuttavia, se <math>F</math> è di [[classe C di una funzione|classe]] C<supmath>C^1</supmath> in un [[intorno]] di <math>\mathbf x_0</math>, cioè se esistono tutte le derivate parziali di <math>F</math> e queste sono [[funzioni continue]], allora <math>F</math> è differenziabile in <math>\mathbf x_0</math>. Vale quindi, se <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^n</math> è aperto, che <math>F\in C^1(\Omega)</math> implica la differenziabilità in <math>\Omega</math> che implica a sua volta che <math>F\in C^0(\Omega) </math>.

== Approssimazioni ==