Radice primitiva modulo n: differenze tra le versioni

Versione delle 02:45, 4 ott 2014

Versione delle 02:47, 4 ott 2014

Riga 77:

* <math>\prod_{(i,p-1)=1} g^i \equiv 1 \pmod{p}</math> dove p primo diverso da 3.(Art.80, DA)

* <math>\sum_{(i,p-1)=1} g^i \equiv \mu(p-1) \pmod{p}</math> per qualsiasi p primo, <math>\mu</math> è la funzione di Möbius. Ovviamente Gauss descrisse la funzione di Möbius, che non era stata ancora formalizzata al suo tempo, in maniera equivalente. (Art.81, DA)

La seconda identità si può estendere considerando tutti gli elementi di ordine d con d divisore di p-1. Sia <math>h</math> un elemento di <math>Z_p ^*</math> di ordine d, allora tutti gli elementi di ordine d saranno del tipo <math>h^j</math> con <math>(j,d)=1</math> e quindi saranno in numero <math>\phi(d)</math> . La loro somma vale <math>\sum_{(j,d)=1} h^j \equiv \mu(d) \pmod{p}</math>. Tramite tale formula possiamo calcolare la somma delle potenze k-esime delle radici primitive. Supponiamo che k sia tale che <math>\sum_{(jk,dp-1)=1}</math> h^jallora \equivtale \mu(d)elevamento a potenza k manda l'insieme delle radici primitive in sè stesso e pertanto \pmod{p}</math><math>\sum_{(ji,dp-1)=1} h(g^ji)^k \equiv \mu(dp-1) \pmod{p}</math>. Ora consideriamo un k che divida interamente p-1, se <math>g</math>

Riportiamo alcuni esempi di tali polinomi: