Funzione a variazione limitata: differenze tra le versioni
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m smistamento lavoro sporco e fix vari |
m a capo in eccesso |
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:<math>\int_\Omega f(x)\,\mathrm{div}\boldsymbol{\phi}(x)\, dx = - \int_\Omega \langle\boldsymbol{\phi}, Df(x)\rangle
\qquad \forall\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega;\mathbb{R}^n)</math>,<br/>cioè <math>f</math> definisce un [[funzionale lineare]] sullo spazio delle [[funzione a supporto compatto|funzioni vettoriali a supporto compatto]]. <math>Df</math> rappresenta un [[derivata debole|gradiente debole]] di <math>f</math>.
*Una <math>f:\Omega \to \R</math> [[funzione integrabile|integrabile]] si dice '''a variazione limitata''', <math>f\in BV(\Omega)</math>, se la sua variazione totale
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[[File:X^2sin(x^-1).svg|thumb|La funzione <math>f(x)=x^2 \sin (1/x)</math> è a variazione limitata]]
È già stato dato un esempio di funzione che ''non'' è a variazione limitata. La stessa funzione, però, ''è'' a variazione limitata in ogni intervallo <math>[\varepsilon,1]</math> ad esempio, con <math>\varepsilon > 0</math>, poiché la "[[singolarità (matematica)|singolarità]]" è presente solo nell'origine. È quindi chiaro come questa sia una proprietà che dipende anche dalla forma del [[dominio (matematica)|dominio]].
Risulta essere a variazione limitata in <math>[0,1]</math> invece la funzione
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