Modulo libero: differenze tra le versioni

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*''E'' è [[indipendenza lineare|linearmente indipendente]]: se esistono <math>a_1,\ldots,a_n\in A</math> ed <math>e_1,\ldots,e_n\in E</math> tali che <math>a_1e_1+\cdots+a_ne_n=0</math> allora tutti gli <math>a_i</math> sono uguali a 0.

Mentre ogni modulo possiede un insieme di generatori (ad esempio disi può prendere ''E''=''M'' stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo <math>\mathbb{Z}</math>-modulo <math>\mathbb{Z}_n</math> delle [[aritmetica modulare|classi di resto]] modulo ''n''.

Se ''A'' è un [[campo (matematica)|campo]], gli ''A''-moduli sono gli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]], e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli ''A''-moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli ''A''-moduli sono liberi, ed ''A'' è [[anello commutativo|commutativo]], allora ''A'' è un campo; lasciando cadere l'ipotesi di commutatività, ''A'' deve essere un [[corpo (matematica)|corpo]].