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L'obiettivo centrale di un'analisi di stabilità è, dunque, stabilire se un dato flusso [[regime laminare|laminare]] è stabile o instabile e, nel secondo caso, analizzare come esso è soggetto a rottura evolvendo verso uno stato [[Turbolenza|turbolento]] o un altro (spesso più complesso) stato [[regime laminare|laminare]].
La teoria e i metodi della stabilità fluidodinamica riguardano in generale lo studio della risposta di un flusso laminare a disturbi di piccola o moderatamente piccola ampiezza. È opportuno osservare che le problematiche della stabilità in fluidodinamica hanno molto in comune con quelle di altri settori scientifici quali l'elettromagnetismo, la magnetoidrodinamica, la fisica dei plasmi, l'oceanografia, l'astrofisica, l'elasticità. In campo aerospaziale di rilievo è l'applicazione all’interazioneall'interazione aerodinamica di superfici con flussi esterni allo scopo di minimizzare la resistenza d’d'[[attrito]] e, più in generale, effettuare una strategia di controllo del flusso.
I concetti di base della stabilità fluidodinamica sono stati fissati e le metodologie d’indagined'indagine sono state sviluppate a partire dalla seconda metà del diciannovesimo secolo grazie ai contributi di [[Hermann von Helmholtz|Helmholtz]], [[William Thomson|Kelvin]], [[John William Strutt Rayleigh|Rayleigh]], [[Osborne Reynolds|Reynolds]].
Vale la pena di sottolineare che il concetto della stabilità dello stato di un sistema fisico era già stato formalizzato in precedenza, in particolare in meccanica, allo scopo di analizzare il comportamento dinamico (stabilità e/od oscillazioni) di masse.
== Esempi ==
Esempi di instabilità già studiati sono l’l'[[instabilità di Rayleigh-Taylor]], l’l'[[instabilità di Kelvin-Helmholtz]], l’l'[[instabilità di Jeans|instabilità gravitazionale]], l'[[instabilità di Rayleigh-Plateau|instabilità capillare]], ecc.
== Analisi spaziale e temporale ==
In un’analisiun'analisi temporale, si studia l’evoluzionel'evoluzione nel tempo di una perturbazione iniziale: se questa decresce fino ad annullarsi (o comunque se la sua ampiezza rimane costante), la configurazione è stabile; se invece l’ampiezzal'ampiezza della perturbazione cresce nel tempo, fino a tendere all’infinitoall'infinito, il sistema è instabile. In casi semplici, la perturbazione può essere considerata come un’un'[[Onda (fisica)|onda]], di lunghezza λ e di [[numero d'onda]] k = 2π/λ.
In un’analisiun'analisi spaziale, invece, si vuole studiare l’evoluzionel'evoluzione spaziale si un disturbo imposto al sistema da una fonte collocata in una determinata posizione; anche in questo caso, se a valle del disturbo la perturbazione cresce fino all’infinitoall'infinito, il sistema è instabile, se invece decresce e viene riassorbita dal sistema, la situazione è di stabilità. Anche in questo caso, in alcune configurazioni più semplici, il disturbo imposto può essere studiato in forma [[seno (matematica)|sinusoidale]], con una pulsazione pari a ω e un periodo pari a T = 2π/ω
I vantaggi di poter studiare perturbazioni in forma d’ondad'onda sinusoidale sono evidenti: l’analisil'analisi può essere condotta in tutta generalità, introducendo nel sistema perturbazioni proporzionali a <big><math>\exp{ i(kx-wt)}</math></big>. Una volta stabilità la stabilità rispetto ad ogni singola onda di numero k, si può valutare la stabilità davanti ad ogni generica perturbazione semplicemente espandendo quest’ultimaquest'ultima in [[serie di Fourier]], o operando una [[trasformata di Fourier]] che la riconduca a perturbazioni sinusoidali.
== La relazione di dispersione ==
Restando nel caso più semplice in cui le perturbazioni possono essere espresse come proporzionali a <big><math>\exp{ i(kx-wt)}</math></big>, e limitando la spiegazione al caso di un’analisiun'analisi temporale, il fine dello studio dell’instabilitàdell'instabilità fluidodinamica consiste nello stabilire se una perturbazione diverge o no nel tempo. Questo significa trovare, per ogni perturbazione possibile, ovvero per ogni numero d’ondad'onda k possibile, il corrispondente valore di ω. Nel caso di un’analisiun'analisi temporale, k è un [[numero reale]], mentre w è un [[numero complesso]]. La relazione che lega k a ω=ω(k) è detta relazione di dispersione, e viene trovata tramite la risoluzione delle equazione che governano la dinamica del moto perturbato.
Per ogni k, si presentano allora tre possibile casi:
* se il corrispondente ω(k) è un numero reale (cioè se la sua parte immaginaria è nulla), allora l’ampiezzal'ampiezza della perturbazione è costante nel tempo, e il sistema è stabile.
* se il corrispondente ω(k) ha una parte immaginaria positiva, l’ampiezzal'ampiezza della perturbazione decresce nel tempo fino ad annullarsi, ed il sistema è stabile.
* se il corrispondente ω(k) ha una parte immaginaria negativa, l’ampiezzal'ampiezza della perturbazione cresce e il sistema diventa instabile.
Più generalmente, la relazione di dispersione può essere scritta come <big><math>D(k,w,R)=0</math></big>
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