Integrale: differenze tra le versioni

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Versione delle 00:43, 24 feb 2015

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=== Funzioni Primitive ===

{{vedi anche |Primitiva (matematica)|}}

Il problema inverso a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione. Nel caso in cui <math>F</math> sia una primitiva di <math>f</math> (cioè se <math>F'(x) = f(x) </math>) allora, poiché la derivata di una funzione costante è nulla, anche una qualunque funzione del tipo:

{{vedi anche |Primitiva (matematica)|}}

Nel caso in cui <math>F</math> sia una primitiva di <math>f,</math> cioè se

:<math>F'G(x) = fF(x) +c</math>

che differisca da <math>F(x)</math> per una costante arbitraria <math>c,</math><br, risulta essere primitiva di <math>f(x)</math>. Infatti:

allora, poiché la derivata di una funzione costante è nulla, anche una qualunque funzione del tipo:

:<math>G(x)=F(x)+c</math><br />

:<math>G'(x)=F'(x)+0 =f(x).</math><br />

che differisca da <math>F(x)</math> per una costante arbitraria <math>c,</math><br />

risulta essere primitiva di <math>f(x).</math><br />

Quindi, se una funzione <math>f(x)</math> ammette primitiva <math>F(x)</math> allora esiste un'intera classe di primitive del tipo <math>G(x)=F(x)+c</math>. <br />:

Infatti

:<math>G'(x)=F'(x)+0 =f(x).</math><br />

:<math>G(x)=F(x)+c</math><br />

Quindi, se una funzione <math>f(x)</math> ammette primitiva <math>F(x)</math> allora esiste un'intera classe di primitive del tipo <math>G(x)=F(x)+c</math>. <br />

Viceversa, tutte le primitive di <math>f(x)</math> sono della forma <math>F(x)+c</math>.