Coefficiente multinomiale: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|febbraio 2013}}

Il '''coefficiente multinomiale''' è un'estensione del [[coefficiente binomiale]].

Per un numero intero non negativo <math>n,</math> e un [[vettore (matematica)|vettore]] intero non negativo <math>\mathbf k</math> di [[norma (matematica)|norma]] uno (<math>\|\mathbf k\|_1</math>) pariuguale a <math>n</math>, il coefficiente multinomiale è definito come

:<math>{n \choose \mathbf k} := \frac{n!}{\prod_{i=1}^r k_i!} ,</math>

</math>

ed è sempre un [[numero naturale]].

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Come generalizzazione del [[teorema binomiale]] vale il cosiddetto teorema multinomiale:

:<math>(x_1+\ldots+x_r)^n =\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n\choose k_1,\ldots,k_r}\cdot \prod_{i=1}^r x_i^{k_i}.,</math>

ovvero

:<math>\bigg(\sum_{i=1}^r x_i \bigg)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n!\cdot \prod_{i=1}^r \frac{x_i^{k_i}}{k_i!}},</math>

dove <math>\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}</math> indica la [[sommatoria]] di tutte le possibili erruple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a <math>n</math>.

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Una forma più compatta della precedente formula fa uso della [[notazione multi-indice]] e della [[contrazione tensoriale]]:

:<math> x^n= \sum_{k=n} n! \frac{\mathbf x^{\mathbf k}}{\mathbf k!} \, </math>

con le [[norma (matematica)|norme unitarie]]:

:<math>k = \sum_{i=1}^r k_i= \left \| \mathbf k \right \|_1,</math>

:<math>x = \sum_{i=1}^r x_i= \left \| \mathbf x \right \|_1,</math>

e:

:<math>\mathbf{x}^{\mathbf k} = (x_{1}^{k_{1}}, x_{2}^{k_{2}}, \ldots, x_{r}^{k_{r}}) \in \mathbb{R}^r.</math>

== Applicazioni ==

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi <math>n</math> oggetti in <math>r</math> scatole, tali che <math>k_1</math> oggetti stiano nella prima scatola, <math>k_2</math> nella seconda, e così via.

Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle [[Permutazione|permutazioni]] di <math>n</math> oggetti, di cui <math>k_1</math> uguali tra loro, <math>k_2</math> uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi <math>k_i</math> essere uguale a <math>1</math>, e avendosi così <math>\sum_{i=1}^r k_i=n</math>.

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della [[variabile casuale multinomiale]]:

:<math>pP(\mathbf x=\mathbf k) \;=\; {n \choose \mathbf k}\cdot \prod_{i=1}^r p_i^{k_i},</math>

una [[variabile casuale discreta]].

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Quanti sono questi modi?

:<math>{32 \choose 10,\, 10,\, 10,\, 2} = \frac{32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!} = 2.753.294.408.504.640</math>

</math>

==Voci correlate==