Modulo (algebra): differenze tra le versioni

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== Decomponibilità ==

Un modulo che è privo di sottomoduli non banali (cioè <math>\{0\}</math> e il modulo stesso) è detto ''semplice'' mentre, nel caso in cui possa essere scritto come somma diretta di moduli semplici, è detto ''semisemplice''. Mentre tutti gli spazi vettoriali sono semisemplici (possono sempre essere scritti come somma diretta di sottospazi di dimensione 1), così come tutti i moduli liberi, in generale esistono moduli che posseggono sottomoduli non banali, ma non possono essere scritti come somma diretta di due suoi sottomoduli: essi sono detti ''indecomponibili''. Tutti i moduli semplici sono indecomponibili, ma non viceversa: ad esempio, se <math>p</math> è un [[numero primo]], lo <math>\Z</math>-modulimodulo <math>\Z/p^2\Z</math> non è semplice, in quanto contiene il sottomodulo <math>p\Z/p^2\Z=\{0,p,2p,\ldots,(p-1)p\}</math>, che è il suo unico sottomodulo non banale; di conseguenza, <math>\Z/p^2\Z</math> è indecomponibile ma non semplice.

Se tutti gli <math>A</math>-moduli sono semisemplici, <math>A</math> stesso è detto (anello) semisemplice; una condizione sufficiente perché questo avvenga è che <math>A</math> sia semisemplice come <math>A</math>-modulo. Un caso di grande importanza per la [[teoria delle rappresentazioni]] è il [[teorema di Maschke]]: se <math>G</math> è un gruppo finito e <math>k</math> è un [[campo (matematica)|campo]] [[chiusura algebrica|algebricamente chiuso]], allora l'[[algebra di gruppo]] <math>k[G]</math> è semisemplice se e solo se la [[Caratteristica (algebra)|caratteristica]] di <math>k</math> non divide l'ordine di <math>G</math>.