Punto fisso: differenze tra le versioni

Versione delle 10:34, 6 mar 2007

Versione delle 16:30, 8 apr 2007

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Questi teoremi si applicano in [[analisi matematica]], [[analisi funzionale]] e [[topologia]].

* Il [[Teorema del punto fisso di Banach]] asserisce che una [[contrazione (matematica)|contrazione]] su uno [[spazio metrico]] [[Spazio completo|completo]] ha uno e un solo punto fisso.

* Il [[Teorema del punto fisso di Brouwer]] asserisce che una [[funzione continua]] definita da un sottinsiemesottoinsieme compatto e convesso dello [[spazio euclideo]] '''R'''^''n'' in sé ha sempre un punto fisso.

Alcuni teoremi estendono il Teorema di Brouwer a spazi più generali.

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Per il [[teorema del punto fisso di Brouwer]] tutti i sottoinsiemi [[spazio compatto|compatti]] e [[insieme convesso|convessi]] di uno [[spazio euclideo]] posseggono la PPF. La sola compattezza non garantisce la PPF (un [[controesempio]] è costituito dall'unione di due [[intervallo (matematica)|intervalli]] disgiunti) e neppure la sola convessità (la retta non ha la PPF). La proprietà di convessità risulta comunque ''non'' necessaria: esistono spazi topologici ''non'' convessi che hanno la proprietà del punto fisso: un esempio di questo tipo è costituito dallo spazio formato da

:<math>\left\{(0,y)\ \big|\ |y| \leq 1\right\} \cup \left\{\left(x,\sin\frac 1x\right)\ \big|\ x \in \left[0,\frac 1 \pi\right] \right\}</math>

unito con l'arco che connette i punti (0,1) e (1/π,0). Nel 1932 [[Karol Borsuk|Borsuk]] congetturò che la PPF fosse posseduta da ogni spazio topologico compatto e [[spazio contraibile|contraibile]]. Il problema rimase aperto per 20 anni finché [[Shin’ichiShin'ichi Kinoshita|Kinoshita]] trovò un esempio di spazio compatto e contraibile che non aveva la PPF.

[[Categoria:Punti fissi| Topologia]]