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Versione delle 11:58, 29 giu 2005

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Formalmente, se ''V'' e ''W'' sono spazi vettoriali sullo stesso [[campo]] ''K'', si dice che ''f'' : ''V'' → ''W'' è una trasformazione lineare se per ogni due vettori ''x'' e ''y'' in ''V'' e per ogni scalare ''a'' in ''K'', si ha

:<math>f(x+y)=f(x)+f(y) \,</math> (addittività)

:<math>f(ax)=af(x) \,</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; (omomgeneitàomogeneità).

Questo è equivalente al dire che ''f'' &nbsp; "preserva le combinazioni lineari", ovvero per un insieme finito di vettori ''x''₁, ..., ''x''_''m'' e scalari ''a''₁, ..., ''a''_''m'', si ha :<math>f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m).</math>

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* La moltiplicazione per una costante è una trasformazione lineare da '''R''' a '''R'''.

* Se ''A'' è una [[matrice]] ''m'' &times; ''n'', allora ''A'' definisce una trasformazione lineare da '''R'''^''n'' a '''R'''^''m'' mandando il [[vettore colonna]] ''x'' &isin; '''R'''^''n'' nel vettore colonna ''Ax'' &isin; '''R'''^''m''. Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali [[finito-dimensionali | finito-dimensionale]] sonoè di questo tipo. Si veda la sezione seguente.

* L'[[intergrazione|integrale]] è una mappa lineare dallo spazio delle funzioni a valori reali integrabili in qualche [[intervallo]] a '''R'''

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* La [[derivata]] è una mappa lineare dallo spazio di tutte le funzioni differenziabili nello spazio di tutte le funzioni.

* Se ''V'' e ''W'' sono spazi vettoriali finito-dimensionali sul campo ''F'', allora funzioni che portano trasformazioni lineari ''f'':''V'' &rarr; ''W'' in dim_''F''(''W'')-per-dim_''F''(''V'') matrici nella maniera descritta nel seguito sono esse stesse trasformazioni lineari.

== Examples ==

== ExamplesMatrici ==

* If ''A'' is an ''m'' &times; ''n'' [[matrix (mathematics)|matrix]], then ''A'' defines a linear transformation from '''R'''^''n'' to '''R'''^''m'' by sending the [[column vector]] ''x'' &isin; '''R'''^''n'' to the column vector ''Ax'' &isin; '''R'''^''m''. Every linear transformation between [[finite-dimensional]] vector spaces arises in this fashion; see the following section.

Se ''V'' e ''W'' sono [[finito-dimansionali]] e una [[base]] è stata scelta, allora ogni trasformazione lineare da ''V'' a ''W'' può essere rappresentata come una [[matrice]]; questo è utile in quanto permette i calcoli numerici. Conversamente le matrici sono esempi di trasformazioni lineari : se ''A'' è una matrice reale ''m''-per-''n'', allora la regola ''f''(''x'') = ''Ax'' descrive una trasformazione lineare '''R'''^''n'' &rarr; '''R'''^''m''.

* The [[integration|integral]] yields a linear map from the space of all real-valued integrable functions on some [[interval (mathematics)|interval]] to '''R'''

LetSia <math>\{v_1, \cdots, v_n\}</math> beuna abase basis forper ''V''. ThenAllora everyogni vectorvettore ''v'' in ''V'' is uniquelyè determinedunicamente bydeterminate thedai coefficientscoefficienti <math>c_1, \cdots, c_n</math> in

* [[derivative|Differentiation]] is a linear transformation from the space of all differentiable functions to the space of all functions.

* If ''V'' and ''W'' are finite-dimensional vector spaces over the field ''F'', then functions that map linear transformations ''f'' : ''V'' &rarr; ''W'' to dim_''F''(''W'')-by-dim_''F''(''V'') matrices in the way described in the sequel are themselves linear transformations.

== Matrices ==

If ''V'' and ''W'' are [[finite-dimensional]] and [[basis of a vector space|bases]] have been chosen, then every linear transformation from ''V'' to ''W'' can be represented as a [[matrix (mathematics)|matrix]]; this is useful because it allows concrete calculations. Conversely, matrices yield examples of linear transformations: if ''A'' is a real ''m''-by-''n'' matrix, then the rule

''f''(''x'') = ''Ax'' describes a linear transformation '''R'''^''n'' &rarr; '''R'''^''m'' (see [[Euclidean space]]).

Let <math>\{v_1, \cdots, v_n\}</math> be a basis for ''V''. Then every vector ''v'' in ''V'' is uniquely determined by the coefficients <math>c_1, \cdots, c_n</math> in

:<math>c_1 v_1+\cdots+c_n v_n.</math>

IfSe ''f'' : ''V'' &rarr; ''W'' isè auna lineartrasformazione transformationlineare,

:<math>f(c_1 v_1+\cdots+c_n v_n)=c_1 f(v_1)+\cdots+c_n f(v_n),</math>

whichche impliesimplica thatche thela functionfunzione f isè entirelyinteramente determineddeterminata bydai thevalori values ofdi <math>f(v_1),\cdots,f(v_n).</math>

NowSia letdunque <math>\{w_1, \cdots, w_m\}</math> beuna abase basis forper ''W''. Then weAllora canpossiamo representrappresentare thei valuesvalori ofdi eachogni <math>f(v_j)</math> ascome

:<math>f(v_j)=a_{1j} w_1 + \cdots + a_{mj} w_m.</math>

SoQuindi thela functionfunzione f isè entirelyinteramente determineddeterminata bydai thevalori values ofdi <math>a_{i,j}</math>.

If we put these values into an m-by-n matrix M, then we can conveniently use it to compute the value of f for any vector in ''V''. For if we place the values of <math>c_1, \cdots, c_n</math> in an n-by-1 matrix ''C'', we have ''MC'' = f(''v'').