Problema di Basilea: differenze tra le versioni

Versione delle 15:11, 14 mar 2007

Versione delle 19:59, 28 mar 2007

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Ciò ci dà il limite superiore ζ(2) < 2

== La dimostrazione di Eulero ==

==Eulero attacca il problema==

La dimostrazione di [[Eulero]] è intelligente ed originale. Essenzialmente egli suppose che le regole dei polinomi finiti fossero valide anche per le serie infinite. Naturalmente il ragionamento originale di Eulero richiede una dimostrazione di questo, ma anche senza giustificazione, semplicemente ottenendo un valore prossimo a quello ottenuto col calcolo, egli poteva essere piuttosto sicuro della correttezza del suo risultato.

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<math> \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots. </math>

Le radici di questo [[polinomio]] sono π, 2π, 3π... (per 0 non è definita). Poniamo ora <math>z = x^2</math> e abbaimo:

Supponiamo di poter esprimere questa serie infinita come prodotto dei fattori lineari forniti dalle relative radici, come facciamo per i polinomi limitati:

-\left(<math> \frac{1\sin(x)}{\pi^2x} += 1 - \frac{1z}{4\pi^23!} + \frac{1z^2}{95!} - \pifrac{z^24}{7!} + \cdots. \right) =</math>

<math>

\frac{\sin(x)}{x} =

\left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots </math>

Le radici di questo polinomio (per la sostituzione operata) sono: π<sup>2, <sup>4π<sup>2, <sup>9π<sup>2<sup> ... C'è una regola algebrica che ci dice che se un polinomio ha il termine costante uguale a 1, la somma dell'inverso delle sue radici è uguale al coefficente del termine lineare cambiato di segno. (in altre parole la somma dell'inverso delle radici del polinomio <math>a{x^2}+ bx +1</math> d come risultato -b)

<math>

Supponiamo di poter applicare le regole dei polinomi finiti anche per questo polinomio infinito. Abbiamo che:

= \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots.

</math>

\left(1<math> -+ \frac{x1}{\pi3!}\right)\left(1 += \frac{x1}{\pi6}\right)\left(1 -= \frac{x1}{2\pi^2}\right)\left(1 + \frac{x1}{24\pi^2}\right)\left(1 -+ \frac{x1}{39\pi^2}\right)\left(1 + \frac{x1}{316\pi^2}\right) + \cdots </math>

Se riordiniamo tutti i termini <math>x^2</math>, vediamo che il coefficiente <math>x^2</math> di <math>\frac{sin(x)}{x}</math> è:

<math>

-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) =

-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

</math>

Ma dall'espansione infinita originale (espansione di sin(x)/x), il coefficiente di ''x''² proviene −1/(3!)= −1/6.

Moltiplicando entrambi i termini per <math>-\pi^2</math> otteniamo la forma chiusa per la funzione zeta di 2, ossia il famoso :

Questi due coefficienti devono essere uguali; quindi:

<math> \frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots </math>

<math>

-\frac{1}{6} =

-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

</math>

[[Come volevasi dimostrare|QED]]

Moltiplicando entrambi i termini per <math>-\pi^2</math> otteniamo la forma chiusa per la funzione zeta di 2, ossia il famoso

π²/6

==Una dimostrazione rigorosa==