Risposta libera: differenze tra le versioni

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La '''risposta libera''' di un [[sistema dinamico]] (anche detta "risposta libera nello stato" in quanto interessa le [[variabili di stato]]) è la risposta del sistema agli ingressi precedenti il tempo scelto come istante iniziale, cioè precedenti lo stato iniziale <math>x (t=0)</math>. Il comportamento del sistema dipende dalle caratteristiche di [[controllabilità]] del sistema.

Nel caso dei [[Sistema dinamico lineare stazionario|sistemi dinamici lineari tempo invarianti]], nell'ipotesi che la [[matrice]] <math>A</math> sia [[diagonalizzabilità|diagonalizzabile]] con [[autovalori]] [[reali]] si è dimostrato che la risposta libera nello stato risulta:

:<math>x_{l}(t)=Pe^{\Lambda(t-t_{0})}P^{-1}x(t_{0})</math>

dove le colonne della matrice <math>P</math> sono gli autovettori <math>v_1,v_2,...,v_n</math> di <math>A</math> relativi agli autovalori distinti <math>\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n</math>; <math>P^{-1}</math> indica l'[[matrice inversa|inversa]] di P e <math>e^{\Lambda(t-t_{0})}</math> l'[[esponenziale di matrice|esponenziale]] della matrice degli autovettori.

Posto <math>t_0=0</math> si può scrivere:

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e quindi soltanto il modo i-esimo risulta eccitato. Pertanto la traiettoria è la retta individuata dall'autovettore <math>v_i</math>

Nel caso di <math>A</math> matrice 2 per 2 con una coppia di autovalori complessi coniugati si ha per quanto visto nei [[sistemi dinamici lineari tempo invarianti]] sempre nell'ipotesi che <math>t_0=0</math> e che <math>T</math> sia la matrice le cui colonne sono parte reale e parte immaginaria dei 2 autovettori complessi coniugati:

:<math>x_l(t)=Te^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc}

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Tale termine viene detto ''modo pseudoperiodico'' di ampiezza <math>Me^{\alpha t}</math> e fase <math>\beta</math>.

In tal caso quindi la traiettoria ha la forma di una spirale esponenziale sul piano individuato dagli autovettori <math>v_1,v_2</math>.

Questa traiettoria partendo da <math>x(0)</math> converge verso l'origine per <math>\alpha<0</math>, diverge per <math>\alpha>0</math> o degenera in curva chiusa per <math>\alpha=0</math>

==Voci correlate==

* [[Analisi dei sistemi dinamici]]

* [[Diagonalizzabilità]]

* [[Funzione di trasferimento]]

* [[Risposta impulsiva]]

* [[Risposta in frequenza]]

* [[Sistema dinamico lineare]]

* [[Sistema dinamico lineare stazionario]]

* [[Spazio di stato]]

==Collegamenti esterni==

* [http://www.dsi.unifi.it/users/chisci/fda/Materialedidatticodalweb/analisi-LTI-DT.pdf Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi - Fondamenti di Automatica]

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