Risposta libera: differenze tra le versioni

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La '''risposta libera''' di un [[sistema dinamico]], (anche detta "risposta libera nello stato" in quanto interessa le [[variabili di stato]]) del sistema, è la rispostasua del sistemarisposta agli ingressi precedenti il tempo scelto come istante iniziale, cioè precedenti lo stato iniziale <math>x (t=0)</math>. Il comportamento del sistema dipende dalle caratteristiche di [[controllabilità]] del sistema.

==Sistemi LTI==

Nel caso dei [[Sistema dinamico lineare stazionario|sistemi dinamici lineari tempo invarianti]], nell'ipotesi che la [[matrice]] <math>A</math> sia [[diagonalizzabilità|diagonalizzabile]] con [[autovalori]] reali si è dimostrato che la risposta libera nello stato risulta:

Si consideri un [[sistema dinamico lineare stazionario]]:

:<math>\left\{\begin{matrix} \frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{matrix} \right.\,</math>

in cui <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> e <math>D</math> sono matrici, <math>x(t) \in \R^n</math>, <math>u(t) \in \R^q</math> e <math>y(t) \in \R^p</math>. La matrice <math>A</math> ha dimensione <math>n \times n</math>, <math>B</math> ha dimensione <math>n \times q</math>, <math>C</math> ha dimensione <math>p \times n</math> e <math>D</math> ha dimensione <math>p \times q</math>.

Grazie al [[principio di sovrapposizione]] è possibile scomporre la risposta di un [[sistema dinamico lineare]] come la somma della risposta libera <math>y_L</math> più la risposta forzata <math>y_F</math>:

:<math>y(t) = y_L(t) + y_F(t)</math>

Nel [[dominio della frequenza|dominio]] della [[trasformata di Laplace]]:

:<math>L[y(t)](s) = Y(s) = Y_L(s) + Y_F(s) = F(s) x(0) + G(s)U(s) </math>

dove <math>U</math> è la trasformata di <math>u</math> e le matrici <math>F</math> e <math>G</math> sono date da:

:<math>F(s) = C(sI - A)^{-1} \qquad G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D</math>

Il termine <math>Y_L</math> è lineare rispetto a <math>x(0)</math> e rappresenta la risposta del sistema quando l'ingresso è nullo: lo stato del sistema dipende quindi linearmente dallo stato iniziale <math>x(0)</math>. Il termine <math>Y_F</math> è la risposta del sistema quando lo stato iniziale è nullo, ed è pertanto una funzione lineare solo dell'ingresso <math>u</math>.

Nel caso dei [[Sistema dinamico lineare stazionario|sistemi dinamici lineari tempo invarianti]], nellNell'ipotesi che la [[matrice]] <math>A</math> sia [[diagonalizzabilità|diagonalizzabile]] con [[autovalori]] reali si è dimostrato che la risposta libera nello stato risulta:

:<math>x_{l}(t)=Pe^{\Lambda(t-t_{0})}P^{-1}x(t_{0})</math>

dove le colonne della matrice <math>P</math> sono gli autovettori <math>v_1,v_2,...,v_n</math> di <math>A</math> relativi agli autovalori distinti <math>\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n</math>; <math>P^{-1}</math> indica l'[[matrice inversa|inversa]] di <math>P</math> e <math>e^{\Lambda(t-t_{0})}</math> l'[[esponenziale di matrice|esponenziale]] della matrice degli autovettori.

Posto <math>t_0=0</math> si può scrivere: