Risposta libera: differenze tra le versioni

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{{F|ingegneria|agosto 2015}}

LaNella [[Analisi dei sistemi dinamici|teoria dei sistemi dinamici]], la '''risposta libera''' o '''risposta ad ingresso nullo''' di un [[sistema dinamico]], anche detta "risposta libera nello stato" in quanto interessa le [[variabili di stato]] del sistema, è la sua risposta quando l'ingresso è nullo, in modo che il comportamento del sistema dipende soltanto dalle condizioni iniziali. Nei [[sistema dinamico lineare|sistemi lineari]] il [[principio di sovrapposizione]] stabilisce in particolare che è possibile scomporre l'uscita come la somma della risposta libera più la risposta forzata.

==Sistemi LTI==

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Il termine <math>Y_L</math> è lineare rispetto a <math>x(0)</math> e rappresenta la risposta del sistema quando l'ingresso è nullo: lo stato del sistema dipende quindi linearmente dallo stato iniziale <math>x(0)</math>. Il termine <math>Y_F</math> è la risposta del sistema quando lo stato iniziale è nullo, ed è pertanto una funzione lineare solo dell'ingresso <math>u</math>.

Nell'ipotesi che la [[matrice]] <math>A</math> sia [[diagonalizzabilità|diagonalizzabile]] con [[autovalori]] reali si è dimostrato che la risposta libera nello stato risulta:

:<math>x_{l}(t)=Pe^{\Lambda(t-t_{0})}P^{-1}x(t_{0})</math>

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e quindi soltanto il modo i-esimo risulta eccitato. Pertanto la traiettoria è la retta individuata dall'autovettore <math>v_i</math>

<!--DA CHIARIRE

Nel caso di <math>A</math> matrice 2 per 2 con una coppia di autovalori complessi coniugati si ha, per quanto visto nei [[sistemi dinamici lineari tempo invarianti]] sempre nell'ipotesiponendo che <math>t_0=0</math> e che <math>T</math> sia la matrice le cui colonne sono parte reale e parte immaginaria dei 2 autovettori complessi coniugati:

:<math>x_l(t)=Te^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc}

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In tal caso quindi la traiettoria ha la forma di una spirale esponenziale sul piano individuato dagli autovettori <math>v_1,v_2</math>.

Questa traiettoria partendo da <math>x(0)</math> converge verso l'origine per <math>\alpha<0</math>, diverge per <math>\alpha>0</math> o degenera in curva chiusa per <math>\alpha=0</math>

-->

==Voci correlate==

* [[Analisi dei sistemi dinamici]]