Elemento neutro: differenze tra le versioni

Versione delle 11:00, 26 nov 2015

Versione delle 00:07, 30 dic 2015

Riga 1:

{{F|matematica|febbraio 2012}}

In [[matematica]], e in particolare [[algebra astratta]], l<nowiki>'</nowiki>'''elemento neutro''' è un elemento di un [[Loop (algebra)|loop]] o di un [[monoide]] (e quindi anche di un [[gruppo (matematica)|gruppo]] taleo sue sovrastrutture come  [[Anello (algebra)|anelli]] e via via più specifiche) che "non modifica nulla" se posto sia a sinistra che a destra in un'operazione. Un'elemento neutro per un'operazione è sia un elemento neutro a destra che un elemento neutro a sinistra di quell'operazione. È sinonimo di elemento neutro il termine '''[[Unità (matematica)|unità]]''' in una delle sue accezioni.

Una proprietà che può avere un'[[operazione binaria]] è l'esistenza dell'elemento neutro.

Riga 6:

== Definizione ==

Formalmente, un'operazione binaria interna <math>*</math> su un [[insieme]] ''X'' è detta possedere l'elemento neutro a destra ''eu'' se soddisfa la relazione:

:''a'' * ''e'' = ''eu'' * ''a'' = ''a''

e un elemento neutro a sinistra ''q'' sinistra se

''q*a=a''

Se <math>*</math> possiede un elemento ''e'' neutro sia a destra che sinistra, ovvero

''a*e=e*a=a''

''e'' è detto elemento neutro di .

Quindi, quando <math>*</math> possiede l'elemento neutro' ''e'', questo può non essere espresso esplicitamente.

Riga 19 ⟶ 31:

=== Strutture ===

L'esistenza di un elemento neutro è uno degli assiomi che devono essere soddisfatti affinché l'operazione binaria sia un [[Loop (algebra)|loop]].

L'esistenza di un elemento neutro è uno degli assiomi che devono essere soddisfatti affinché l'operazione binaria sia un [[monoide]] e in particolare [[gruppo (matematica)|gruppo]]. Ad esempio, se consideriamo i [[numeri interi]] con l'operazione di prodotto, non otteniamo un gruppo (i numeri interi generalmente non hanno inverso), ma solo un monoide e il suo elemento neutro è dato dal numero 1. Tipici elementi neutri di gruppi sono le trasformazioni identità dei [[gruppo di trasformazioni|gruppi di trasformazioni]].