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Il matematico francese [[François Viète]] presentò nel 1600[http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-ismp/13_deuflhard-peter.pdf]</ref> un metodo, già noto nel 1427 da [[al-Khasi]], per la ricerca degli zeri di un polinomio attraverso una perturbazione di una sua soluzione approssimata.
Quattro anni dopo, Newton venne a conoscenza del metodo di Vietè, e nel 1669 scopre autonomamente un metodo per la ricerca degli zeri di un polinomio.
Applicando la sostituzione <math> x=2+p </math> si ricava il polinomio <math> p^3+6p^2+10p-1=0 </math> e trascurando i monomi di grado superiore al primo (linearizzazione), si ottiene <math> p=0.1 </math>▼
Per cui applico la sostituzione <math> p=0.1+q </math> si arriva a <math> q^3+6.3q^2+11.23q+0.661=0 </math> e per linearizzazione <math> q=0.0054 </math>▼
Come esempio mostra la seguente equazione <math> f(x)=x^3-2x-5=0 </math> una cui soluzione ha parte intera <math> x_0=2 </math>.
▲Applicando la sostituzione <math> x=2+p </math> si ricava il polinomio <math> p^3+6p^2+10p-1=0 </math> e trascurando i monomi di grado superiore al primo (linearizzazione), si ottiene <math> p=0.1 </math>.
▲Per cui
Sostituendo <math> q=0.0054+r </math> e facendo lo stesso ragionamento si ricava <math> r=0.00004853 </math>.
Da cui <math> x_3=x_0+p+q+r=2.09455147 </math>.▼
▲Da cui <math> x_3=x_0+p+q+r=2.09455147 </math>
Si possono fare due osservazioni relative al metodo proposto:
# <math> p=x_1-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} </math> e <math> q=x_2-x_1=-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} </math> per cui il metodo trovato da Newton corrisponde al moderno metodo delle tangenti;
# Osservando i valori di p,q e r, si può notare che il numero di zeri dopo la virgola raddoppia ad ogni passo, allora nell'esempio si ha convergenza quadratica.
Nel 1687, nel 'Philosophae Naturalis Principia Mathematica', Newton apllica per la prima volta il metodo ad un'equazione non polinomiale. E' il caso dell'equazione <math> x-esin(x)=M </math> dove <math> M </math> indica l'anomalia media e <math> e </math> l'anomalia eccentrica. In questo caso, approssimando il seno come somma troncata del suo sviluppo in serie di Taylor, Newton ricavava un polinomio e quindi poteva applicare il metodo da lui trovato.
Nel 1690 il matematico [[Joseph Raphson]]
==Prova 2 ==
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