Varietà (geometria): differenze tra le versioni

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In [[geometria]], una '''varietà''' è un oggetto localmente simile allo [[spazio euclideo]] <math>n</math>-dimensionale, ma che globalmente può assumere le forme più svariate.

Esempi diLe varietà sono le [[curva (matematica)|curve]], in quanto localmente simili alla retta <math>\mathbb R</math>, esi lechiamano [[superficiecurva (matematica)|superficicurve]], inmentre quantoquelle localmente simili al piano <math>\mathbb R^2</math> si chiamano [[superficie|superfici]]. Se una varietà <math>X</math> è localmente simile a <math>\mathbb R^n</math>, allora si definisce <math>X</math> una varietà di dimensione <math>n</math>. Le varietà vengono usate in molteplici branche della matematica quali la [[topologia]], l'[[Analisi matematica|analisi reale]], l'[[analisi complessa]], l'[[algebra]] e la [[geometria algebrica]]. Le varietà trovano applicazioni in [[computer grafica]] e si incontrano spesso in fisica, come ad esempio in [[meccanica lagrangiana]], in [[meccanica quantistica]], in [[relatività generale]] e nella [[teoria delle stringhe]].

== Strutture su varietà ==

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Una ''varietà topologica'' <math> X </math> è uno [[spazio topologico]] [[spazio di Hausdorff|di Hausdorff]] e [[Assioma di numerabilità|secondo numerabile]] in cui ogni punto ha un [[intorno aperto]] [[omeomorfismo|omeomorfo]] allo [[spazio euclideo]] <math> n</math>-dimensionale <math> \R^n </math>. Il numero <math> n </math> è la '''dimensione''' della varietà.<ref>{{cita|Kosniowski, C.| p. 75|kos}}</ref>

Una varietà di dimensione <math> n </math> è spesso chiamata brevemente '''<math>n</math>'''''-varietà''. Equivalentemente,Si definiscono ''curve'' le <math>1</math>-varietà e ''superfici'' le <math>2</math>-varietà.

Nella definizione si può richiedere, equivalentemente, che <math>X</math> sia localmente omeomorfo ad un aperto di <math> \R^n </math>. Un omeomorfismo <math>\varphi:U\longrightarrow V</math> fra un aperto di <math> X </math> e un aperto di <math> \R^n </math> è detto una '''carta'''. Quindi se <math> X </math> è una varietà topologica allora esiste una famiglia di carte <math>\mathcal U= \{ \varphi_\alpha \}_{\alpha \in A}</math>, con <math>\varphi_\alpha :U_\alpha \longrightarrow V_\alpha</math> , che ricoprono <math> X </math>, ovvero tali che <blockquote><math>X=\bigcup_{\alpha \in A}U_\alpha </math></blockquote>Una tale famiglia di carte si definisce un [[atlante (topologia)|atlante]]. I nomi "carta" e "atlante" sono scelti in analogia con la [[cartografia]]. Infatti la [[superficie della Terra]] non è descrivibile interamente su un foglio (nel senso che non è omeomorfa ad un aperto di <math> \R^2 </math>), però è possibile descriverla "a pezzi" tramite un certo numero di carte geografiche: ad esempio, con due carte che descrivono gli emisferi [[emisfero nord|Nord]] e [[emisfero sud|Sud]]. Non a caso, [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] fu sia un cartografo sia uno dei pionieri della geometria differenziale.

=== Esempi ===

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Nello studio delle varietà, assume un ruolo di cardinale importanza la '''classificazione''' delle varietà topologiche. La classificazione delle varietà topologiche viene effettuata a meno di [[Omeomorfismo|omeomorfismi]]. Infatti, così come in geometria euclidea due oggetti vengono considerati equivalenti se uguali a meno di un isometria (anche intuitivamente, due sfere con centri diversi ma stesso raggio vengono considerate equivalenti, in quanto uguali a meno di una traslazione), così le varietà topologiche vengono considerate a meno di omeomorfismi.

Osserviamo quindi che ogni <math>n</math>-varietà è unione disgiunta delle proprie componenti connesse, che sono <math>n</math>-varietà a loro volta.

Con questa premessa, affermiamo esistere solo due varietà topologiche [[Spazio connesso|connesse]] di dimensione <math>1</math>, la [[circonferenza]] e la [[retta]]: ogni altra varietà di dimensione 1 è infatti [[omeomorfismo|omeomorfa]] a una di queste due. Le varietà di dimensione 2, chiamate [[superficie (matematica)|superfici]], sono invece infinite e più variegate. Tra queste troviamo ad esempio già molti esempi notevoli dal punto di vista topologico: la [[sfera]], il [[Toro (geometria)|toro]], il [[nastro di Möbius]], la [[bottiglia di Klein]].

Dopo questa premessa, affermiamo esistere sostanzialmente solo due varietà topologiche di dimensione <math>1</math>: la [[circonferenza]] <math>S^1</math> e la [[retta]] <math>\mathbb R</math>. Ogni altra curva connessa è infatti [[omeomorfismo|omeomorfa]] a una di queste due.

La bottiglia di Klein <math>{\mathbb {K}^1}</math> è un esempio importante: benché sia "localmente" un oggetto bidimensionale, non è realizzabile "globalmente" come sottoinsieme né del piano né dello spazio evitando "autointersezioni", ma è "realizzabile" dentro lo spazio <math> \R^4 </math> quadri-dimensionale, nel senso tecnico che esiste una [[Immersione (matematica)|inclusione topologica]]; ovvero una applicazione continua e iniettiva <math>F \colon{\mathbb {K}^1} \to \R^4</math> tale che risulti un omeomorfismo sull'immagine, cioè risulti un omeomorfismo <math>F \colon{\mathbb {K}^1} \to F(\mathbb {K}^1)</math>, con <math>N = F(\mathbb {K}^1)</math> considerato come [[Topologia di sottospazio|sottospazio topologico]] di <math>\R^4</math>, ovvero dotato della topologia indotta dallo spazio ambiente <math>\R^4</math>.

Nel caso in cui l'inclusione topologica <math>F \colon{\mathbb {K}^1} \to \R^4</math> risulti una [[Immersione (geometria)|immersione differenziabile]] si dice che essa è una inclusione differenziabile, in inglese '''embedding''' (ovvero '''imbedding''').<ref>{{Cita|Sharpe, R.W.|p. 16|sharpe}}</ref>

Le varietà di dimensione <math>2</math> sono più variegate: tra queste troviamo la [[sfera]] <math>S^2</math>, il [[Toro (geometria)|toro]], il [[nastro di Möbius]]<nowiki/>lea [[bottiglia di Klein]].

Una varietà di dimensione 3 intuitivamente è un oggetto che "potrebbe essere" l'[[universo]] in cui viviamo. Le [[3-varietà]] non sono facilmente visualizzabili, ed il loro studio è una branca importante della topologia. La [[congettura di Poincaré]], dimostrata nel [[2003]] da [[Grigori Perelman]], è stato un importante problema irrisolto per più di un secolo, riguardante proprio questo ambito.

Di più, le superfici sono infinite: i <math>g</math>-tori, ovvero i tori con <math>g</math> buchi, sono superfici topologicamente distinte al variare di <math>g \in \mathbb N</math>.

Una varietà di dimensione 4 è un oggetto ancora più difficile da visualizzare. Lo studio delle varietà con quattro dimensioni è un punto centrale della matematica moderna, con numerosi collegamenti alla [[fisica teorica]]: la [[relatività generale]] descrive infatti lo [[spaziotempo]] come una 4-varietà.

Una varietà di dimensione 3 intuitivamente è un oggetto che "potrebbe essere" l'[[universo]] in cui viviamo. Le [[3-varietà]] non sono facilmente visualizzabili, ed il loro studio è una branca importante della topologia. La [[congettura di Poincaré]], dimostrata nel [[2003]] da [[Grigori Perelman]], è stato un importante problema irrisolto per più di un secolo, riguardante proprio questo ambito.

Una varietà di dimensione <math>4</math> è un oggetto ancora più difficile da visualizzare. Lo studio delle varietà con quattro dimensioni è un punto centrale della matematica moderna, con numerosi collegamenti alla [[fisica teorica]]: la [[relatività generale]] descrive infatti lo [[spaziotempo]] come una <math>4</math>-varietà.

=== Varietà immerse ===

La bottiglia di Klein <math>{\mathbb {K}^1}</math> è un esempio importante: benché sia "localmente" un oggetto bidimensionale, non è realizzabile "globalmente" come sottoinsieme né del piano né dello spazio evitando "autointersezioni", ma è "realizzabile" dentro lo spazio <math> \R^4 </math> quadri-dimensionale, nel senso tecnico che esiste una [[Immersione (matematica)|inclusione topologica]]; ovvero una applicazione continua e iniettiva <math>F \colon{\mathbb {K}^1} \to \R^4</math> tale che risulti un omeomorfismo sull'immagine, cioè risulti un omeomorfismo <math>F \colon{\mathbb {K}^1} \to F(\mathbb {K}^1)</math>, con <math>N = F(\mathbb {K}^1)</math> considerato come [[Topologia di sottospazio|sottospazio topologico]] di <math>\R^4</math>, ovvero dotato della topologia indotta dallo spazio ambiente <math>\R^4</math>.

Nel caso in cui l'inclusione topologica <math>F \colon{\mathbb {K}^1} \to \R^4</math> risulti una [[Immersione (geometria)|immersione differenziabile]] si dice che essa è una inclusione differenziabile, in inglese '''embedding''' (ovvero '''imbedding''').<ref>{{Cita|Sharpe, R.W.|p. 16|sharpe}}</ref>

== Varietà differenziabile ==