Elemento neutro: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|febbraio 2012}}

In [[matematica]], e in particolare [[algebra astratta]], l<nowiki>'</nowiki>'''elemento neutro''' è un elemento di un [[Loop (algebra)|loop]] o di un [[monoide]] (e quindi anche di un [[gruppo (matematica)|gruppo]] o sue sovrastrutture come [[Anello (algebra)|anelli]] e via via più specifiche) che "non modifica nulla" se posto sia a sinistra che a destra in un'operazione. Un'elemento neutro per un'operazione è sia un elemento neutro a destra che un elemento neutro a sinistra di quell'operazione. È sinonimo di elemento neutro il termine '''[[Unità (matematica)|unità]]''' in una delle sue accezioni.

Una proprietà che può avere un'[[operazione binaria]] è l'esistenza dell'elemento neutro.

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== Definizione ==

Formalmente, un'operazione binaria interna <math>*</math> su un [[insieme]] ''<math>X''</math> è detta possedere l'elemento neutro a destra ''<math>u''</math> se soddisfa la relazione

:<math>a*u=a,</math>

''a*'' ''u''= ''a''

e un elemento neutro a sinistra ''<math>q''</math> se

'':<math>q*a=a''.</math>

Se <math>*</math> possiede un elemento ''<math>e''</math> neutro sia a destra che sinistra, ovvero

''<math>a*e=e*a=a'',</math>

''e''<math>e</math> èè detto elemento neutro di <math>*</math>.

Quindi, quando <math>*</math> possiede l'elemento neutro' ''e'', questo può non essere espresso esplicitamente.

== Proprietà ==

=== Unicità ===

Una operazione binaria può non avere nessun elemento neutro. Ad esempio, l'operazione

: ''a'' * ''b'' := ''a''

:<math>a*b:=a</math>

non ha nessun elemento neutro (se l'insieme consta di almeno due elementi). D'altra parte, si dimostra facilmente che non ci può essere più di un elemento neutro. Infatti, se ce ne fossero due ''e'' ed ''f'', avremmo

: ''f'' = ''e'' * ''f'' = ''e''

non ha nessun elemento neutro (se l'insieme consta di almeno due elementi). D'altra parte, si dimostra facilmente che non ci può essere più di un elemento neutro. Infatti, se ce ne fossero due ''<math>e''</math> ed ''<math>f''</math>, avremmo

e quindi ''e'' = ''f''.

:<math>f=e*f=e,</math>

e quindi ''<math>e'' = ''f''</math>.

=== Strutture ===

L'esistenza di un elemento neutro è uno degli assiomi che devono essere soddisfatti affinché l'operazione binaria sia un [[Loop (algebra)|loop]].

L'esistenza di un elemento neutro è uno degli assiomi che devono essere soddisfatti affinché l'operazione binaria sia un [[monoide]] e in particolare [[gruppo (matematica)|gruppo]]. Ad esempio, se consideriamo i [[numeri interi]] con l'operazione di prodotto, non otteniamo un gruppo (i numeri interi generalmente non hanno inverso), ma solo un monoide e il suo elemento neutro è dato dal numero <math>1</math>. Tipici elementi neutri di gruppi sono le trasformazioni identità dei [[gruppo di trasformazioni|gruppi di trasformazioni]].

Nelle strutture algebriche con due o più operazioni binarie si possono avere più elementi neutri. In un [[anello (algebra)|anello]] ad es.esempio si ha un elemento neutro per la somma e un elemento neutro per il prodotto; essi in genere sono denotati con <math>0</math> e <math>1</math> rispettivamente. In un'[[algebra su campo]] il prodotto può essere dotato o meno di elemento neutro; in caso di presenza di elemento neutro si parla di algebra unitale (o anche, ma meno opportunamente, di algebra unitaria).

== Voci correlate ==