|
==Prova 3 ( Caso unidimensionale ) ==
Il matematico francese [[François Viète]] presentò nel 1600<ref>[http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-ismp/13_deuflhard-peter.pdf]</ref> un metodo, già noto nel 1427 da [[al-Khasi]], per la ricerca degli zeri di un polinomio attraverso una perturbazione di una sua soluzione approssimata.
Supponiamo che nell'intervallo <math>[a,b]</math> la funzione <math>f</math> e le sue derivate prima e seconda esistano e siano continue e che la derivata prima e seconda siano diverse da zero. Inoltre, si prenda <math>x</math> lo zero della funzione da trovare.
Quattro anni dopo, Newton venne a conoscenza del metodo di Vietè, e nel 1669 scopre autonomamente un metodo per la ricerca degli zeri di un polinomio.
Per cui, preso un punto <math> x_0 </math> nell'intervallo, sfruttando la serie di Taylor di f, si trova che
<math> f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(r(x))</math>
con <math>r(x)</math> compreso tra <math> x </math> e <math> x_0</math>.
ComePer esempio mostra la seguentecui, equazionese <math> f(|x)=x^3-2x-5=0x_0| </math> unaè cui soluzione ha partepiccolo interaallora <math> (x-x_0=)^2 \approx 0</math>. e si ricava
<math> x \approx x_0- \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = x_1 </math>.
Applicando la sostituzione <math> x=2+p </math> si ricava il polinomio <math> p^3+6p^2+10p-1=0 </math> e trascurando i monomi di grado superiore al primo, ossia linearizzando il polinomio, si ottiene <math> p=0.1 </math>.
Per cui si applica la sostituzione <math> p=0.1+q </math> e si arriva a <math> q^3+6.3q^2+11.23q+0.661=0 </math> e per linearizzazione <math> q=0.0054 </math>.
Sostituendo <math> q=0.0054+r </math> e facendo lo stesso ragionamento si ricava <math> r=0.00004853 </math>.
Da cui <math> x_3=x_0+p+q+r=2.09455147 </math>.
<math>x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},</math>
Si possono fare due osservazioni relative al metodo proposto:
<math>f \in C^2(I)</math> dove <math>I</math> è un opportuno intorno della radice <math>\alpha</math> con <math>f'(\alpha) \neq 0</math> e se <math>x_0 \in I,</math>
# <math> p=x_1-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} </math> e <math> q=x_2-x_1=-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} </math> per cui il metodo trovato da Newton corrisponde al moderno metodo delle tangenti;
# Osservando i valori di p,q e r, si può notare che il numero di zeri dopo la virgola raddoppia ad ogni passo, allora nell'esempio si ha convergenza quadratica.
Nel 1687, nel 'Philosophae Naturalis Principia Mathematica', Newton apllica per la prima volta il metodo ad un'equazione non polinomiale. E' il caso dell'equazione <math> x-esin(x)=M </math> dove <math> M </math> indica l'anomalia media e <math> e </math> l'anomalia eccentrica. In questo caso, approssimando il seno come somma troncata del suo sviluppo in serie di Taylor, Newton ricavava un polinomio e quindi poteva applicare il metodo da lui trovato.
Nel 1690 il matematico [[Joseph Raphson]] riuscì a ricavare un metodo iterativo per aggiornare la soluzione approssimata <math> x_k </math> senza dover calcolare la potenza del monomio completa e nel 1740 [[Thomas Simpson]], nel libro 'Essays on Several Curious and Useful Subjects in Speculative and Mix's Mathematicks, Illustrated by a variey of Examples' ricavò il moderno metodo delle tangenti riconoscendo il ruolo delle dervate prime nell'aggiornamento della soluzione.
==Prova 2 ==
| 