Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

Versione delle 08:44, 20 apr 2007

Versione delle 15:20, 18 mag 2007

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Gli '''Assiomi di Peano''' sono un gruppo di [[Assioma (matematica)|assiomi]] ideati dal matematico [[Giuseppe Peano]] al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei i [[numeri naturali]].

Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

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* (P2) afferma l'esistenza di una funzione <math>S</math> (la ''funzione successore'') di cui l'insieme <math>\mathbb N</math> è [[dominio]] e [[codominio]].

* (P3) dice che <math>S</math> è una [[funzione iniettiva]]; questo ci permette di escludere modelli in cui partendo da <math>0</math> e andando avanti ripetutamente da un elemento al successore si possa ritornare su un elemento già visitato e rimanere confinati in un ciclo;

* (P4) dice che <math>0</math> non è nell'[[immagine (matematica)|immagine]] di <math>S</math>, questo ci permette di escludere modelli in cui iterando la funzione successore si possa compiecompiere un loop che ritorni al punto di partenza; questo assioma con il precedente esclude qualsiasi modello dotato di un numero finito di elementi.

* (P5), l'ultimo assioma di Peano, è anche noto con il nome di [[Principio di induzione]] ed è uno strumento molto usato nelle [[dimostrazione|dimostrazioni]]: quello che ci dice è che l'insieme <math>\mathbb N</math> dei numeri naturali è il più piccolo insieme che contenga lo <math>0</math> e che contenga il successore di ogni suo elemento (cioè che sia ''chiuso'' rispetto alla funzione ''successore''). Questo assioma ci permette di escludere modelli in cui siano presenti degli elementi "intrusi" al di fuori della sequenza infinita dei successori dello zero.

== Unicità del modello a meno di isomorfismi ==

Abbiamo visto che ciascun assioma consente di ridurre progressivamente il campo dei [[modello (logica)|modelli]] possibili tagliando fuori, via via, modelli che sono strutturalmente diversi dall'insieme dei numeri naturali (come l'insieme vuoto o insiemi con numero finito di elementi o strutture cicliche). Ora ci potremmo chiedere: siamo sicuri che i cinque assiomi siano sufficienti ad escludere tutti i modelli "non buoni" e, quindi, caratterizzare univocamente la struttura dei numeri naturali o, magari, occorrono altri assiomi?

Chiamiamo ''sistema di Peano'' qualunque terna <math>(X,x_0,s)</math> che soddisfa gli assiomi:

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== Indipendenza degli assiomi ==

Gli assiomi di Peano sono ''indipendenti'', ovvero nessuno di essi può essere dimstratodimostrato a partire dagli altri. Ci si può convincere facilmente di questo cercando delle terne <math>(X, x_0, S)</math> per cui un particolare assioma non venga soddisfatto, tutti gli altri siano soddisfatti e <math>X</math> non sia isomorfo all'insieme dei numeri naturali:

* Eliminando (P1), possiamo prendere per <math>X</math> l'[[insieme vuoto]]; se non ci sono elementi nell'insieme, gli altri assiomi sono banalmente veri.

* Eliminando (P2), abbiamo un [[modello (logica matematica)|modello]] dove <math>0</math> e <math>S</math> restano le stesse, ma <math>X=\{0,1,2,3,4,5\}</math> è dato dai numeri minori di <math>6</math>, e quindi il codominio di <math>S</math> è dato da <math>X \cup \{6\}</math>. È da notare che in questo caso (P5) è verificato, perché non esiste nessun sottoinsieme di <math>X</math> che contenga lo <math>0</math> e che sia chiuso rispetto ad <math>S</math>.