|
In [[crittografia]], l''''Elliptic Curve Digital Signature Algorithm '''('''ECDSA''') offre una variante del [[Digital Signature Algorithm]] (DSA) usando la [[crittografia ellittica]].
Fu proposto la prima volta nel 1992 da Scott Vanstone. Nel 1998 è diventato uno standard [[ISO]] (ISO 14888), nel 1999 è stato accettato come standard [[ANSI]] (ANSI X9.62) mentre nel 2000 è diventato uno standard [[IEEE]] (IEEE P1363 2)<ref>{{Cita web|url=http://www.di.unisa.it/~ads/corso-security/www/CORSO-0001/ECC/index.htm|titolo=Crittosistemi basati su curve ellittiche|sito=www.di.unisa.it|accesso=17 gennaio 2017}}</ref>.
== Dimensioni della chiave e della firma in confronto al DSA ==
Come in generale nella crittografia delle curve ellittiche, la dimensione in bit della [[chiave pubblica]] necessaria all'ECDSA è circa il doppio della dimensione del livello di sicurezza in bit. Per esempio, con un livello di sicurezza di 80 bit (un massimo di <math>2^{80}</math> operazioni necessarie ad un aggressore informatico per trovare la chiave privata) la dimensione di una chiave pubblica ECDSA sarebbe di 160 bit, laddove la dimensione della chiave pubblica DSA è di almeno 1024 bit. La dimensione della firma è la stessa per ECDSA e DSA: <math>4 t</math> bit, dove <math>t</math> è il livello di sicurezza misurato in bit; nell'esempio precedente (con <math>t</math> = 80 bit), la dimensione della chiave è di 320 bit.
== Algoritmo di generazione della firma ==
Si supponga che [[Alice e Bob|Alice]] voglia mandare a [[Alice e Bob|Bob]] un messaggio protetto da firma digitale. Inizialmente devono accordarsi sui parametri della curva <math>(\textrm{CURVE}, G, n)</math>. Oltre al campo e all'equazione della curva, è necessario <math>G</math>, un punto base di ordine primo sulla curva; <math>n</math> è l'ordine moltiplicativo del punto <math>G</math>.
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
! Parametro
|-
| ''n''
|<span>ordine intero di </span>''G'', tale per cui <math>n \times G = O</math>
|}
Alice genera una coppia di chiavi consistente in una chiave privata <math>d_A</math>, scelta casualmente nell'intervallo <math>[1, n-1]</math> ed una chiave pubblica <math>Q_A = d_A \times G</math>. Si usa <math>\times</math> per indicare la moltiplicazione di uno scalare per un punto della curva ellittica.
Al fine di generare una firma per il messaggio <math>m</math>, Alice segue questi passi:
# Computa <math>e = \textrm{HASH}(m)</math>, dove HASH è una [[funzione crittografica di hash]], come SHA-2.
# Sia <math>z</math> la stringa formata dai <math>L_n</math> bit più a sinistra di <math>e</math>, dove <math>L_n</math> è la lunghezza in bit del gruppo di ordine <math>n</math>.
# Seleziona casualmente in modo '''crittografico-sicuro '''un intero <math>k</math> dall'intervallo <math>[1, n-1]</math>.
# Calcola il punto della curva <math>(x_1, y_1) = k \times G</math>.
# Calcola <math>r = x_1\,\bmod\,n</math>. Se <math>r = 0</math>, ritorna al passo 3.
# Calcola <math>s = k^{-1}(z + r d_A)\,\bmod\,n</math>. Se <math>s = 0</math>, ritorna al passo 3.
# La firma è la coppia <math>(r, s)</math>.
Computando <math>s</math>, la stringa <math>z</math> risultante da <math>\textrm{HASH}(m)</math> deve essere convertita ad intero. Si noti che <math>z</math> può essere ''più grande'' di <math>n</math> ma non ''più lunga''.<ref>[http://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.186-4.pdf NIST FIPS 186-4, July 2013, pp. 19 and 26]</ref>
Come stabiliscono gli standard, è cruciale che vengano selezionati <math>k</math> per firme diverse, altrimenti l'equazione al passo 6 può essere risolta per <math>d_A</math>, la chiave privata: date due firme <math>(r, s)</math> e <math>(r, s')</math>, l'impiegare la stessa <math>k</math> per due messaggi differenti <math>m</math> e <math>m'</math> apre ad una vulnerabilità ad attacchi. Un aggressore può calcolare <math>z</math> e <math>z'</math>, e poiché <math>s - s' = k^{-1}(z - z')</math> (tutte le operazioni di questo paragrafo sono svolte in modulo <math>n</math>) l'aggressore può trovare <math>k = \frac{z - z'}{s - s'}</math>. Dato che <math>s = k^{-1}(z + r d_A)</math>, l'aggressore può ora calcolare la chiave privata <math>d_A = \frac{s k - z}{r}</math>. Questa implementazione errata è stata sfruttata, per esempio, per estrarre la firma digitale usata nella console [[PlayStation 3]].<ref>[https://events.ccc.de/congress/2010/Fahrplan/attachments/1780_27c3_console_hacking_2010.pdf Console Hacking 2010 - PS3 Epic Fail], page 123–128</ref>
Un'altra situazione in cui la firma ECDSA può lasciare trapelare le chiavi private si ha quando <math>k</math> è generato da un ''[[Generatore di numeri pseudocasuali crittograficamente sicuro|random number generator]]'' difettoso. Una falla simile causò la perdita dei fondi di alcuni portafogli di [[bitcoin]] su piattaforma [[Android]] nell'agosto 2013.<ref>{{Cita web|url=https://bitcoin.org/en/alert/2013-08-11-android|titolo=Android Security Vulnerability|accesso=24 febbraio 2015}}</ref> Per assicurare che <math>k</math> sia unico per ogni messaggio si può bypassare completamente la generazione casuale e ottenere una firma in modo deterministico computando <math>k</math> dal messaggio e dalla chiave privata.<ref>{{Cita web|url=http://tools.ietf.org/html/rfc6979|titolo=RFC 6979 - Deterministic Usage of the Digital Signature Algorithm (DSA) and Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)|accesso=24 febbraio 2015}}</ref>
== Algoritmo di verifica della firma ==
Per autenticare la firma di Alice, Bob deve avere una copia della chiave pubblica <math>Q_A</math>. Bob può verificare che <math>Q_A</math> è un punto valido della curva nel modo seguente:
# Controlla che <math>Q_A</math> non sia uguale all'elemento neutro <math>O</math>, e che le sue coordinate siano altrettanto valide.
# Controlla che <math>Q_A</math> appartenga alla curva.
# Controlla che <math>n \times Q_A = O</math>.
Dopo, Bob farà quanto segue:
# Verifica che <math>r</math> e <math>s</math> siano interi appartenenti a<math>[1, n-1]</math>. In caso contrario, la firma non è valida.
# Computa <math>e = \textrm{HASH}(m)</math>, dove HASH è la stessa funzione usate nel processo di generazione della firma.
# Sia <math>z</math> la stringa formata dai <math>L_n</math> bit più a sinistra di <math>e</math>.
# Calcola <math>w = s^{-1}\,\bmod\,n</math>.
# Calcola <math>u_1 = zw\,\bmod\,n</math> <math>u_2 = rw\,\bmod\,n</math>.
# Calcola il punto della curva<math>(x_1, y_1) = u_1 \times G + u_2 \times Q_A</math>.
# La firma è valida se <math>r \equiv x_1 \pmod{n}</math>, altrimenti non è accettata.
Si noti che usando lo ''Shamir's trick'', una somma di due moltiplicazioni scalari <math>u_1 \times G + u_2 \times Q_A</math> può essere calcolata in tempo inferiore a quello necessario allo svolgimento indipendente delle due moltiplicazioni scalari.<ref>{{Cita web|url=http://www.lirmm.fr/~imbert/talks/laurent_Asilomar_08.pdf|titolo=The Double-Base Number System in Elliptic Curve Cryptography|accesso=22 aprile 2014}}</ref>
== Correttezza dell'algoritmo ==
Il corretto funzionamento dell'algoritmo di verifica non è banale. Si denoti con <math>C</math> il punto della curva calcolato al passo 6 della verifica,
<math>C = u_1 \times G + u_2 \times Q_A</math>
Sostituendo la definizione della chiave pubblica <math>Q_A = d_A \times G</math>,
<math>C = u_1 \times G + u_2 d_A \times G</math>
<math>C = (u_1 + u_2 d_A) \times G</math>
Espandendo la definizione di <math>u_1</math> e <math>u_2</math> dal passo 5 dell'algoritmo di verifica,
<math>C = (z s^{-1} + r d_A s^{-1}) \times G</math>
Raccogliendo <math>s^{-1}</math>,
<math>C = (z + r d_A) s^{-1} \times G</math>
Espandendo la definizione di <math>s</math> dal passo 6 dell'algoritmo di generazione della firma,
<math>C = (z + r d_A) (z + r d_A)^{-1} (k^{-1})^{-1} \times G</math>
<math>C = k \times G</math>
Dalla definizione di <math>r</math>, questo è il passo 6 dell'algoritmo di verifica.
Questo però mostra solo che un messaggio firmato correttamente supererà la verifica; sono necessarie molte altre proprietà per un algoritmo di firma sicuro.
== Sicurezza ==
Nel dicembre 2010, un gruppo che si fa chiamare ''fail0verflow'' annunciò di aver scoperto la chiave privata ECDSA usata da Sony per firmare i software della console [[PlayStation 3|Playstation 3]]. Tuttavia, questo attacco funzionò perché Sony non implementò correttamente l'algoritmo, <math>k</math> era statico invece che casuale. Come è sottolineato nella precedente sezione ''Algoritmo di generazione della firma'', ciò rende risolvibile <math>d_A</math> ed inutile l'intero algoritmo.<ref>{{Cita news|cognome=Bendel|nome=Mike|titolo=Hackers Describe PS3 Security As Epic Fail, Gain Unrestricted Access|editore=Exophase.com|data=29 dicembre 2010|url=http://exophase.com/20540/hackers-describe-ps3-security-as-epic-fail-gain-unrestricted-access/|accesso=5 gennaio 2011}}</ref>
Il 29 marzo del 2011, due ricercatori pubblicarono un documento IACR <ref>{{Cita web|url=http://eprint.iacr.org/2011/232|titolo=Cryptology ePrint Archive: Report 2011/232|accesso=24 febbraio 2015}}</ref> dimostrando che è possibile recuperare una chiave privata TLS di un server usando [[OpenSSL]] il quale esegue un'autenticazione ECDSA su un campo binario attraverso un'' timing attack''.<ref>[https://www.kb.cert.org/vuls/id/536044 Vulnerability Note VU#536044 - OpenSSL leaks ECDSA private key through a remote timing attack]</ref> La vulnerabilità ha ricevuto un ''fix'' nella release OpenSSL 1.0.0e.<ref>{{Cita web|url=//www.openssl.org/news/changelog.html|titolo=ChangeLog|editore=OpenSSL Project|accesso=22 aprile 2014}}</ref>
Nell'agosto 2013, è stato reso pubblico che alcune implementazioni della classe [[Java]] [http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/security/SecureRandom.html SecureRandom] talvolta generavano collisioni nel valore <math>k</math>. Come discusso sopra, questo ha permesso la risoluzione delle chiavi private, di conseguenza ciò ha aperto alla possibilità di rubare [[bitcoin]] dalle app Wallet Android, le quali erano basate su ECDSA per l'autenticazione delle transazioni.<ref>{{Cita web|url=http://www.theregister.co.uk/2013/08/12/android_bug_batters_bitcoin_wallets/|titolo=Android bug batters Bitcoin wallets|autore=12 Aug 2013 at 00:43, Richard Chirgwin tweet_btn()|accesso=17 gennaio 2017}}</ref>
| 