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In [[functional analysis]], a '''unitary operator''' is a [[bounded linear operator]] ''U'' on a [[Hilbert space]] satisfying
In [[matematica]], una '''trasformazione lineare''' (chiamata anche '''operatore lineare''' o '''mappa lineare''') è una [[funzione (matematica)| funzione]] tra due [[spazio vettoriale| spazi vettoriali]] tale che l'operazione di somma di vettori e moltiplicazione per [[scalare| scalari]] sia preservata. In altre parole preserva le [[combinazione lineare | combinazioni lineari]].
:''U*U=UU*=I''
Nel linguaggio dell'[[algebra astratta]], una trasformazione lineare è un [[omomorfismo]]
di spazi vettoriali.
where ''I'' is the [[identity]] operator. This property is equivalent to any of the following:
== Definizione e prime conseguenze ==
* ''U'' is a [[surjective]] [[isometry]]
Formalmente, se ''V'' e ''W'' sono spazi vettoriali sullo stesso [[campo (matematica)|campo]] ''K'', si dice che ''f'' : ''V'' → ''W'' è una trasformazione lineare se per ogni due vettori ''x'' e ''y'' in ''V'' e per ogni scalare ''a'' in ''K'', si ha
:<math>f(x+y)=f(x)+f(y) \,</math> (addittività)
:<math>f(ax)=af(x) \,</math> (omogeneità).
Questo è equivalente al dire che ''f'' "preserva le combinazioni lineari", ovvero per un insieme finito di vettori ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''m''</sub> e scalari ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''m''</sub>, si ha :<math>f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m).</math>
* ''U'' is [[surjective]] and preserves the [[inner product]] on the Hilbert space, so that for all [[vector]]s ''x'' and ''y'' in the Hilbert space,
Occasionalmente, ''V'' e ''W'' possono essere considerati come spazi vettoriali su differenti campi, ed è importante speficicare quale campo è stato utilizzato nella definizione di "lineare".
:<math>\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle.</math>
Se ''V'' e ''W'' sono considerati come spazi sul campo ''K'' come sopra, si parla di mappe ''K''-lineari. Per esempio la coniugazione di [[numero complesso | numeri complessi]] è una mappa ''R''-lineare '''C''' → '''C''', ma non è '''C'''-lineare.
[[Unitary matrix|Unitary matrices]] are precisely the unitary operators on finite-dimensional Hilbert spaces, so the notion of a unitary operator is a generalisation of the notion of a unitary matrix.
== Esempi ==
Unitary operators implement [[isomorphism]]s between [[operator algebra]]s.
* La moltiplicazione per una costante è una trasformazione lineare da '''R''' a '''R'''.
{{math-stub}}
* Se ''A'' è una [[matrice]] ''m'' × ''n'', allora ''A'' definisce una trasformazione lineare da '''R'''<sup>''n''</sup> a '''R'''<sup>''m''</sup> mandando il [[vettore colonna]] ''x'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup> nel vettore colonna ''Ax'' ∈ '''R'''<sup>''m''</sup>. Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali [[finito-dimensionale]] è di questo tipo. Si veda la sezione seguente.
[[Category:Operator theory]]
* L'[[integrale]] è una mappa lineare dallo spazio delle funzioni a valori reali integrabili in qualche [[intervallo]] di '''R'''
[[Category:Unitary operators]]
* La [[derivata]] è una mappa lineare dallo spazio di tutte le funzioni differenziabili nello spazio di tutte le funzioni.
* Se ''V'' e ''W'' sono spazi vettoriali finito-dimensionali sul campo ''F'', allora funzioni che portano trasformazioni lineari ''f'':''V'' → ''W'' in matricidim<sub>''F''</sub>(''W'')-per-dim<sub>''F''</sub>(''V'') nella maniera descritta nel seguito sono esse stesse trasformazioni lineari.
== Matrici ==
Se ''V'' e ''W'' sono finito-dimensionali e una [[base (matematica) | base]] è stata scelta, allora ogni trasformazione lineare da ''V'' a ''W'' può essere rappresentata come una [[matrice]]; questo è utile in quanto permette i calcoli numerici. Conversamente le matrici sono esempi di trasformazioni lineari : se ''A'' è una matrice reale ''m''-per-''n'', allora la regola ''f''(''x'') = ''Ax'' descrive una trasformazione lineare '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>.
Sia <math>\{v_1, \cdots, v_n\}</math> una base per ''V''. Allora ogni vettore ''v'' in ''V'' è unicamente determinate dai coefficienti <math>c_1, \cdots, c_n</math> in
:<math>c_1 v_1+\cdots+c_n v_n.</math>
Se ''f'' : ''V'' → ''W'' è una trasformazione lineare,
:<math>f(c_1 v_1+\cdots+c_n v_n)=c_1 f(v_1)+\cdots+c_n f(v_n),</math>
che implica che la funzione f è interamente determinata dai valori di <math>f(v_1),\cdots,f(v_n).</math>
Sia dunque <math>\{w_1, \cdots, w_m\}</math> una base per ''W''. Allora possiamo rappresentare i valori di ogni <math>f(v_j)</math> come
:<math>f(v_j)=a_{1j} w_1 + \cdots + a_{mj} w_m.</math>
Quindi la funzione f è interamente determinata dai valori di <math>a_{i,j}</math>.
Se inseriamo questi valori in una matrice m-per-n M possiamo convenientemente usarla per calcolare il valore di f per ogni valore in ''V''. Infatti se utilizziamo i valori di <math>c_1, \cdots, c_n</math> in una matrice n-per-1 ''C'', si ha ''MC'' = f(''v'').
Si noti che possono esserci diverse matrici rappresentanti una singola trasformazione lineare. Questo perchè i valori degli elementi della matrice dipendono dalla base scelta. Similarmente, data una matrice, abbiamo bisogno di sapere che base è utilizzata per determinare che trasfomazione lineare rappresenta.
== Creare nuove trasformazioni lineari da trasformazioni date ==
La composizione di trasformazioni lineari è lineare: se ''f'' : ''V'' → ''W'' e ''g'' : ''W'' → ''Z'' sono lineari, allora lo è anche ''g'' o ''f'' : ''V'' → ''Z''.
Se ''f''<sub>1</sub> : ''V'' → ''W'' e ''f''<sub>2</sub> : ''V'' → ''W'' sono lineari, allora lo è la loro somma: ''f''<sub>1</sub> + ''f''<sub>2</sub> (che è definita come (''f''<sub>1</sub> + ''f''<sub>2</sub>)(''x'') = ''f''<sub>1</sub>(''x'') + ''f''<sub>2</sub>(''x'')).
Se ''f'' : ''V'' → ''W'' è lineare e ''a'' è un elemento del campo ''K'', allora la mappa ''af'', definita da (''af'')(''x'') = ''a'' (''f''(''x'')), è anch'essa lineare.
Nel caso finito-dimensionale e se una base è stata scelta la composizione di mappe lineari corrisponde alla moltiplicazione di matrici, la somma di mappe lineari corrisponde alla somma di matrici e la moltiplicazione di mappe lineari per scalari corrisponde alla moltiplicazione di matrici con scalari.
== Endomorfismi e automorfismi ==
Una trasformazione lineare ''f'' : ''V'' → ''V'' è un [[endomorfismo]] di ''V''; l'insieme di tutti gli endomorfismi End(''V'') insieme a addizione, composizione e moltiplicazione per uno scalare come descritti sopra formano un'[[algebra associativa]] con elemento identità sul campo ''K'' ( in particolare formano un [[anello (matematica)|anello]]). L'elemento identità di questa algebra è la [[identità| trasformazione identità]] I : ''V'' → ''V''.
Un endomorfismo [[biiezione| biiettivo]] di ''V'' viene chiamato [[automorfismo]] di ''V''; la composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e l'insieme di tutti gli automorfismi di ''V'' forma un [[gruppo (matematica) | gruppo]], il [[gruppo degli automorfismi]] di ''V'', chiamato Aut(''V'') o GL(''V'').
Se ''V'' ha dimensione finita ''n'', allora End(''V'') è [[isomorfismo | isomorfo]] alla algebra associativa di tutte le matrici ''n'' per ''n'' a valori in ''K''. Il gruppo degli automorfismi di ''V'' è [[isomorfismo di gruppi | isomorfo]] al [[gruppo lineare generale]] GL(''n'', ''K'') di tutte le matrici ''n'' per ''n'' invertibili a valori in ''K''.
== Nucleo e immagine ==
Se ''f'' : ''V'' → ''W'' è lineare, si definisce il '''[[nucleo (matematica)|nucleo]]''' (in inglese ''kernel'') e l' '''[[immagine (matematica)|immagine]]''' di ''f'' come
:<math>\ker(f)=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}</math>
:<math>\operatorname{im}(f)=\{\,f(x):x\in V\,\}</math>
ker(''f'') è un [[Linear algebra/Subspace|sottospazio]] di ''V'' e im(''f'') è un sottospazio di ''W''. La seguente formula dimensionale è spesso utile (si noti però che si applica solo nel caso finito dimensionale):
:<math>
\dim(\ker( f ))
+ \dim(\operatorname{im}( f ))
= \dim( V ) \,</math>
== Vedi anche ==
* [[Matrice di trasformazione]]
* [[wikibooks:Algebra:Linear transformations]]
[[Categoria:Matematica]]
[[Categoria:Algebra lineare]]
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