Meccanica quantistica: differenze tra le versioni

Versione delle 14:17, 6 set 2017

Versione delle 14:21, 6 set 2017

Riga 225:

<ol>

<li> Lo stato fisico di un sistema <math>\mathcal{S}</math> è rappresentato da un raggio vettore unitario di uno spazio di Hilbert <math>\mathcal{H}</math>. Nella [[notazione di Dirac]] un vettore è indicato con un ket, ad esempio come <math>|\Psi\rangle</math>, mentre il prodotto scalare fra due vettori <math>|\Psi\rangle</math> e <math>|\Phi\rangle</math> è indicato con <math>\langle \Phi|\Psi\rangle</math>. In questo modo, uno stato <math>|\Psi\rangle</math> è definito a meno di una fase complessa inosservabile in modo che:

:<math>\langle\Psi|\Psi\rangle = 1</math></li>

<li> Per ogni osservabile fisica <math>\mathcal{V}</math> riferita al sistema <math>\mathcal{S}</math> esiste un [[operatore hermitiano]] lineare <math>O</math> che agisce sui vettori che rappresentano <math>\mathcal{S}</math>.</li>

<li> Gli autovalori <math>\lambda_i</math> associati all'autovettore <math>|\Psi_i\rangle</math> dell'operatore <math>O</math>, che soddisfano quindi:

:<math>O |\Psi_i\rangle = \lambda_i |\Psi_i\rangle</math>,

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:<math>P(\lambda_i;V) = |\langle\Psi_i|\Phi\rangle|^2</math>

Questa legge sulla probabilità è nota come [[regola di Born]]. I vettori <math>|\Psi_i\rangle</math> sono scelti in modo tale da formare una base ortonormale dello spazio di Hilbert, cioè soddisfano:

:<math>\langle\Psi_i|\Psi_j\rangle = \delta_{ij}</math></li>

<li>Se non è effettuata alcuna misura sul sistema <math>\mathcal{S}</math> rappresentato da <math>|\Phi(t_0)\rangle</math> ad un dato istante <math>t_0</math>, allora <math>\mathcal{S}</math> evolve ad un altro istante <math>t \geq t_0</math> in maniera deterministica in base all'equazione lineare di Schrödinger:

:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Phi(t)\rangle = H(t) |\Phi(t)\rangle </math>

Riga 275:

:<math>P(x \rightarrow y) \propto |K(x,t_0;y,t_1)|^2 </math>

In questo modo, lo stato descritto dalla funzione d'onda <math>\Psi(x;t_0)</math> all'istante <math>t_0</math> si evolverà all'istante <math>t_1</math> fino allo stato <math>\Psi(x;t_1)</math> definito da:

:<math>\Psi(x,t_1) = \int K(y,t_0;x,t_1) \Psi(y,t_0)dy</math></li>

<li> Il propagatore <math>K(x,t_0;y,t_1)</math> può essere scritto come una somma di contributi <math>\phi</math> definiti lungo tutti i percorsi continui <math>\gamma</math>, detti ''cammini'', che congiungono il punto x con il punto y:

:<math>K(x,t_0;y,t_1)=\sum_\gamma \phi[\gamma]</math></li>

<li>Il contributo <math>\phi[\gamma]</math> di un singolo cammino vale:

:<math>\phi[\gamma]=C \exp{\left(\frac{i}{\hbar}S_{classica}[\gamma]\right)}</math>

dove la costante C è definita in modo che la somma su tutti i cammini del propagatore converga nel limite <math>t_1 \rightarrow t_0</math>.<ref>{{cita libro|autore=A. Ranfagni|anno=1991|titolo=Trajectories and Rays: The Path-Summation in Quantum Mechanics and Optics|pagine=19|isbn= 978-9971-5-0781-7|editore=World Scientific Lecture Notes in Physics}}</ref> <math>S_{classica}[\gamma]</math> indica invece l'azione classica associata alla curva <math>\gamma</math>.</li>

</ol>