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La '''regressione dei quantili''' (o '''regressione quantile''' o ancora '''regressione quantilica''') è un tipo di [[Analisi della regressione|analisi di regressione]] usato in statistica e in econometria. Se il [[metodo dei minimi quadrati]] risulta nella stima della <span>[[Media (statistica)|media]]'' ''della variabile di risposta condizionata ai valori delle variabili indipendenti</span>, la regressione quantiledei quantili mira a stimare [[Mediana (statistica)|mediana]] condizionata, o altri [[Quantile|quantili]] della variabile dipendente.
La regressione mediana si ottiene minimizzando la somma degli scarti assoluti, mentre per altri quantili <math>\tau \in [0,1]</math>, la [[funzione di perdita]] è <math>{\displaystyle \rho _{\tau }(y)=y(\tau -\mathbb {I} _{(y<0)})}</math>
== Confronto con la regressione in media ==
La regressione quantiledei quantili è il metodo da utilizzare se interessa stimare l'intera distribuzione condizionata della variabile di risposta, e non solo il suo valore atteso. In questo senso, è possibile valutare simultaneamente il comportamento di diversi quantili, tuttavia il suo primo utilizzo è quello della stima della mediana condizionata. In questo caso è alternativa alla regressione in media (metodo dei minimi quadrati).
Un vantaggio della regressione mediana è che la stima dei parametri risulta più robusta a valori estremi, esattamente come la mediana lo è rispetto alla media. confrontare le stime della regressione mediana con quelle della regressione in media può rivelare se degli [[outlier]] influenzano i risultati.<ref>{{Cita libro|nome=Fahrmeir,|cognome=L.|titolo=Regression : models, methods and applications|url=https://www.worldcat.org/oclc/843758031|OCLC=843758031|ISBN=9783642343339}}</ref>
Lo svantaggio principale della regressione quantiledei quantili riguarda la soluzione del problema di minimizzazione: mentre il metodo dei minimi quadrati ha una soluzione in forma chiusa, la regressione quantiledei quantili richiede l'impiego di un metodo di programmazione lineare. Inoltre gli stimatori degli stessi parametri hanno per la regressione in media una maggior varianza e una convergenza alla distribuzione normale più problematica. Non è assolutamente possibile sfruttare la distribuzione esatta degli stimatori con campioni piccoli, come invece è possibile con il metodo dei minimi quadrati se gli errori si distribuiscono normalmente.
La regressione quantiledei quantili ha altreun'altra importante applicazioniapplicazione se il quantile di interesse è estremo, come <math>0.05</math> o <math>0.95</math>,: in questa maniera si possono stimare delle bande di confidenza per la variabile dipendente anchesenza quandoassumere questaper nonessa èuna particolare distribuzione normalecondizionata.
== Proprietà asintotiche ==
Quest'ultima proprietà non vale per la regressione in media.
== Metodi bayesiani per la regressione quantiledei quantili ==
Poichè la regressione quantiledei quantili non assume generalmente una distribuzione specifica per gli errori, e dunque una verosimiglianza calcolabile, metodi bayesiani, quali ad esempio i [[Modello gerarchico|modelli gerarchici]], non sono immediatamente applicabili. Per risolvere questo problema si utilizza la distribuzione asimmetrica di Laplace per la stima della verosimiglianza<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Hideo|cognome=Kozumi|data=2011-11-01|titolo=Gibbs sampling methods for Bayesian quantile regression|rivista=Journal of Statistical Computation and Simulation|volume=81|numero=11|pp=1565–1578|accesso=2017-11-09|doi=10.1080/00949655.2010.496117|url=http://dx.doi.org/10.1080/00949655.2010.496117|nome2=Genya|cognome2=Kobayashi}}</ref>, questo perché il [[metodo della massima verosimiglianza]] risulta in questo caso nelle stesse stime della regressione quantiledei quantili. L'inferenza a posteriori, comunque, va interpretata con attenzione, perché la distribuzione utilizzata nella stima non corrisponde, in genere, a quella degli errori. Yang e He<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Yunwen|cognome=Yang|data=2012-04|titolo=Bayesian empirical likelihood for quantile regression|rivista=The Annals of Statistics|volume=40|numero=2|pp=1102–1131|lingua=EN|accesso=2017-11-09|doi=10.1214/12-aos1005|url=https://projecteuclid.org/euclid.aos/1342625463|nome2=Xuming|cognome2=He}}</ref> hanno dimostrato che si può aver un'inferenza a posteriori valida, ammesso però che la distribuzione utilizzata nella stima corrisponde a quella empirica.
== Note ==
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