Regressione dei quantili: differenze tra le versioni

Versione delle 20:52, 20 nov 2017

Versione delle 14:23, 13 gen 2018

Riga 5:

Per costruzione, la retta (o iperpiano) di regressione si trova al di sopra della proporzione <math>\tau</math> delle osservazioni del campione. Perciò, nel caso della mediana (<math>\tau = 0.5</math>) metà delle osservazioni si troverà sopra alla retta di regressione e metà sotto.

== Storia ==

L'idea di stimare la pendenza della regressione mediana, un importante teorema a proposito della minimizzazione della somma degli scarti assoluti e un algoritmo geometrico per costruire la regressione mediana sono stati proposti nel 1760 da [[Ruggero Giuseppe Boscovich|Ruđer Josip Bošković]], un prete gesuita di Dubrovnik<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Stephen M.|cognome=Stigler|data=1984-12-01|titolo=Studies in the history of probability and statistics XL Boscovich, Simpson and a 1760 manuscript note on fitting a linear relation|rivista=Biometrika|volume=71|numero=3|pp=615–620|accesso=2017-11-09|doi=10.1093/biomet/71.3.615|url=https://academic.oup.com/biomet/article/71/3/615/258808}}</ref><ref>{{cita|Koenker|p. 4}}</ref> e sono perciò molto più antichi del metodo dei minimi quadrati<ref name=":0" />. I calcoli necessari all'analisi della regressione mediana sono però particolarmente ostici per dataset più grandi, se confrontati con quelli del metodo dei minimi quadrati; per cui questo è divenuto molto più popolare di quello dei minimi scarti assoluti, fin dalla sua formulazione. La grande diffusione dei computer nell'ultima parte del ventesimo secolo ha permesso una nuova popolarità per la regressione dei quantili.

== Confronto con la regressione in media ==

La regressione dei quantili è il metodo da utilizzare se interessa stimare l'intera distribuzione condizionata della variabile di risposta, e non solo il suo valore atteso. In questo senso, è possibile valutare simultaneamente il comportamento di diversi quantili. Il suo primo utilizzo è tuttavia quello della stima della mediana condizionata, in questo caso è alternativa alla regressione in media (metodo dei minimi quadrati).

Riga 33:

: <math>\hat{\beta}(\tau;Y,XA)=A^{-1}\hat{\beta}(\tau;Y,X) .</math>

=== Invarinaza rispetto a trasformazioni monotone ===

Se <math>h</math> è una funzione monotona crescente in <math>\mathbb R</math>, vale:

: <math>h(Q_{Y|X}(\tau))\equiv Q_{h(Y)|X}(\tau).</math>

Questa proprietà non vale per la regressione in media.

== Metodi bayesiani per la regressione dei quantili ==

Poiché la regressione dei quantili non assume generalmente una distribuzione specifica per gli errori, e dunque una verosimiglianza calcolabile, metodi bayesiani, quali ad esempio i [[Modello gerarchico|modelli gerarchici]], non sono immediatamente applicabili. Per risolvere questo problema si utilizza la [[distribuzione asimmetrica di Laplace]] per la stima della verosimiglianza<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Hideo|cognome=Kozumi|data=2011-11-01|titolo=Gibbs sampling methods for Bayesian quantile regression|rivista=Journal of Statistical Computation and Simulation|volume=81|numero=11|pp=1565–1578|accesso=2017-11-09|doi=10.1080/00949655.2010.496117|url=http://dx.doi.org/10.1080/00949655.2010.496117|nome2=Genya|cognome2=Kobayashi}}</ref>, questo perché il [[metodo della massima verosimiglianza]] risulta in questo caso nelle stesse stime della regressione dei quantili. L'inferenza a posteriori, comunque, va interpretata con attenzione, perché la distribuzione utilizzata nella stima non corrisponde, in genere, a quella degli errori. Yang e He<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Yunwen|cognome=Yang|data=2012-04|titolo=Bayesian empirical likelihood for quantile regression|rivista=The Annals of Statistics|volume=40|numero=2|pp=1102–1131|lingua=EN|accesso=2017-11-09|doi=10.1214/12-aos1005|url=https://projecteuclid.org/euclid.aos/1342625463|nome2=Xuming|cognome2=He}}</ref> hanno dimostrato che si può aver un'inferenza a posteriori valida, ammesso però che la distribuzione utilizzata nella stima corrisponde a quella empirica.

== Note ==

<references />

{{References}}

== Bibliografia ==

* {{Cita libro|Joshua D.|Angrist|titolo=Mostly harmless econometrics : an empiricist's companion|url=https://www.worldcat.org/oclc/231586808|data=2009|editore=Princeton University Press|pp=269-291|OCLC=231586808|ISBN=9780691120348}}

* {{Cita libro|Roger|Koenker|anno= 2005|titolo=Quantile regression|url=https://www.worldcat.org/oclc/61895919|data=2005|editore=Cambridge University Press|OCLC=61895919|ISBN=0521608279}}

{{portale|statistica}}

[[Categoria:Analisi di regressione]]