Teorema spettrale: differenze tra le versioni

Versione delle 10:01, 28 giu 2018

Versione delle 19:04, 9 dic 2018

Riga 41:

Nel dimostrare il teorema spettrale è sufficiente considerare il caso complesso, e per provare l'esistenza di una base di autovettori si utilizza il [[principio d'induzione]] sulla dimensione di <math>V</math>.

Se la dimensione di <math>V</math> è pari a 1 non c'è nulla da dimostrare. Si ponga che l'enunciato valga per gli spazi vettoriali di dimensione ''n'' - 1: si vuole mostrare che questo implica la validità del teorema per gli spazi di dimensione ''n''. Poiché <math>\CComplex</math> è un [[campo algebricamente chiuso]], il [[polinomio caratteristico]] di <math>T</math> ha almeno una radice: quindi <math>T</math> ha almeno un autovalore <math>\lambda</math> ed un autovettore <math>v</math> relativo a tale autovalore. Si consideri lo spazio:

:<math> W = \mathcal{L}(v)^{\perp} </math>

Riga 153:

Sia <math>A</math> un [[operatore normale]] limitato definito su uno spazio di Hilbert <math>H</math>. Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore <math>P^A</math> tale per cui:

:<math>A = \int_{\sigma(A)} z dP^A(x,y) \qquad z := (x,y) \to x+iy \in \CComplex \quad (x,y) \in \R^2</math>

dove <math>\sigma(A) = \mbox{supp}(P^A)</math> è lo [[Spettro (matematica)|spettro]] di <math>A</math>. Si dice che <math>P^A</math> è la misura a valori di proiettore associata ad <math>A</math>.

Riga 173:

Si consideri un operatore autoaggiunto <math>A</math> non limitato. Attraverso la trasformata di Cayley <math>U(A)</math> associata ad <math>A</math>:

:<math> U(A) = (A - \boldmathbf{i}I) (A + \boldmathbf{i}I)^{-1} \qquad A = \boldmathbf{i}(I + U(A)) (I - U(A))^{-1} </math>

è possibile definire, a partire da <math>A</math>, una misura a valori di proiettore <math>P^{U(A)}</math> nel modo seguente:

Riga 179:

:<math>P^A(\Omega) := P^{U(A)}(U(\Omega)) \qquad \Omega \subset \sigma(A)</math>

L'insieme <math>\Omega</math> è un boreliano contenuto nello spettro (reale) <math>\sigma(A)</math> di <math>A</math>, e <math>U(\Omega)</math> è il risultato ottenuto applicando la trasformata di Cayley su <math>\CComplex</math>.

Si dimostra che se la [[funzione identità]], definita su <math>\sigma(A)</math>, è di classe <math>L^2</math> rispetto alla misura <math>(x,P^A(\Omega)x)</math>, allora <math>P^{U(A)}</math> definisce una misura a valori di proiettore su <math>\sigma(A)</math>.