Ha frequentato la St. Peter's Grade School dal [[1936]] al [[1944]] e la Bishop Hogan High School dal [[1944]] al [[1948]]. Ha compiuto gli studi per il sacerdozio al Rockhurst College e al seminario dell'[[arciabbazia di Saint Meinrad]].<ref name=biography>{{citeCita news| workopera=[[Diocesi di Cheyenne]]| titletitolo=Most Reverend Hubert Joseph Hart|url=http://www.dioceseofcheyenne.org/bhart.html| deadurlurlmorto=yes| archiveurlurlarchivio=https://web.archive.org/web/20080604033329/http://www.dioceseofcheyenne.org/bhart.html| archivedatedataarchivio=4 giugno 2008| df=}}</ref>
Il 1° maggio [[1956]] è stato ordinato [[presbitero]] per la [[Diocesi di Kansas City-Saint Joseph|Kansas City]] da monsignor [[John Patrick Cody]]. In seguito è stato [[vicario parrocchiale]] della parrocchia degli Angeli Custodi dal [[1956]] al [[1962]], [[vicario parrocchiale]] della parrocchia della Visitazione dal [[1962]] al [[1966]], vice-cancelliere vescovile dal [[1964]] al [[1969]], cooperatore della parrocchia di Santa Teresa dal [[1966]] al [[1968]] e di quella di San Giacomo dal [[1968]] al [[1969]]. Dal [[1969]] alla nomina episcopale è stato [[parroco]] della parrocchia di San Giovanni Francesco Régis. Ha anche insegnato alla Bishop Lillis High School, alla Loretto Academy e alla St. Pius X High School.<ref name=biography/>
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Il 26 settembre [[2001]] [[papa Giovanni Paolo II]] ha accettato la sua rinuncia al governo pastorale della diocesi.
Nel [[1989]] e nel [[1992]] la [[diocesi di Kansas City-Saint Joseph]] ha ricevuto accuse secondo cui monsignor Hart aveva abusato sessualmente di giovani ragazzi nei primi [[Anni 1970|anni '70]], quando era ancora un prete del [[Missouri]].<ref name=star>{{citeCita news| datedata=25 aprile 2002| workopera=[[The Kansas City Star]]| titletitolo=KC Diocese Spent Thousands after Two Allegations Recently Retired Wyoming Bishop Denies Accusations| last1cognome1=Thomas| first1nome1=Judy L.| first2nome2=Matt| last2cognome2=Stearns|url=http://www.bishop-accountability.org/news3/2002_04_25_Thomas_KCDiocese_Bishop_Joseph_Hart_2.htm}}</ref> Il vescovo si è offerto volontario per recarsi in una struttura residenziale in [[Arizona]] per una valutazione psichiatrica che in seguito ha concluso che "non sembra essere una minaccia per se stesso o per gli altri a nessun livello".<ref name=ncr>{{citeCita news| datedata=16 settembre 2005| workopera=[[National Catholic Reporter]]| titletitolo=Fifth Man Sues Retired Bishop for Sex Abuse| lastcognome=Coday| firstnome=Dennis|url=http://www.natcath.org/NCR_Online/archives2/2005c/091605/091605j.htm}}</ref> Le accuse sono state riferite al nunzio apostolico e alla Conferenza episcopale ma non sono state rivelate al pubblico fino al gennaio del [[2002]]. Monsignor Hart "categoricamente e completamente" ha negato le accuse, che ha definito "infondate fonti di grande dolore e imbarazzo".<ref name=star/>
Nel [[2002]] monsignor Hart è stato accusato di aver ripetutamente costretto a spogliarsi un ragazzo di 14 anni nel [[1977]], quando vescovo ausiliare.<ref name=cheyenne>{{citeCita news|url=http://www.wyomingnews.com/news/hart-faces-more-allegations/article_ca59e6cd-2d3e-5713-9bfc-84ad60b5a006.html| datedata=15 maggio 2002| workopera=[[Wyoming Tribune Eagle]]| titletitolo=Hart Faces More Allegations| lastcognome=Canon| firstnome=Scott}}</ref> È stato liberato da quelle accuse nel luglio dello stesso anno. Nel [[2004]] monsignor Hart è stato nominato in una causa civile con l'accusa di aver abusato sessualmente di tre bambini mentre prestava servizio a [[Kansas City (Missouri)|Kansas City]] e successivamente a [[Cheyenne (Wyoming)|Cheyenne]].<ref name=lawsuit>{{citeCita news| datedata=24 gennaio 2004| workopera=[[Casper Star-Tribune]]| titletitolo=Former Wyo Bishop Sued for Sex Abuse |lastcognome=Morton|firstnome=Tom}}</ref> Nel [[2005]] una quinta persona ha denunciato monsignor Hart per abusi avvenuti nel [[1973]] o nel [[1974]], quando l'accusatore era un parrocchiano dodicenne della parrocchia di San Giovanni Francesco Régis.<ref name=ncr/>
Nell'agosto del [[2008]] la [[diocesi di Kansas City-Saint Joseph]] ha pagato 10 milioni di [[Dollaro statunitense|dollari]] di risarcimento a un gruppo di 47 vittime che citavano il vescovo Hart tra gli altri 12 sacerdoti responsabili di aver abusato di loro.<ref name=settlement>{{citeCita news| datedata=23 agosto 2008| workopera=Wyoming Tribune Eagle| titletitolo=Settlement Leaves Victims of Abuse by Priests Cold|url=http://www.wyomingnews.com/articles/2008/08/23/local_news_updates/20local_08-23-08.txt| lastcognome=McCarthy| firstnome=Bill}}</ref>
