Forma indeterminata: differenze tra le versioni

Versione delle 13:50, 22 ago 2018

Versione delle 19:50, 15 gen 2019

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== Limite notevole del tipo <math>\infty tfrac{\over infty}{\infty}</math> per frazioni polinomiali ==

Consideriamo la successione:

:<math>{P_p(n) \over Q_q(n)} </math> <math>= {{a_pn^p + a_{p-1}n^{p-1}+ ...\ldots +a_1n + a_0} \over {b_qn^q + b_{q-1}n^{q-1}+ ...\ldots +b_1n + b_0}}</math>

quoziente di due [[polinomio|polinomi]] di grado ''<math>p''</math> e ''<math>q''</math>. Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata

<math>\infty tfrac{\over infty}{\infty}</math> .

Raccogliendo <math>n^p</math> al numeratore e <math>n^q</math> al denominatore si ha:

:<math> n ^ {p-q} {{a_p + a_{p-1}n^{-1} + ...\ldots +a_1n^{1-p}+a_0n^{-p}} \over {b_q + b_{q-1}n^{-1} + ...\ldots +b_1n^{1-q}+b_0n^{-q}}}</math>

cioè:

:<math> n^ {p-q}c_n</math>

dove:

:<math>c_n = {{a_p + a_{p-1}n^{-1} + ...\ldots +a_1n^{1-p}+a_0n^{-p}} \over {b_q + b_{q-1}n^{-1} + ...\ldots +b_1n^{1-q}+b_0n^{-q}}}</math>

poiché <math>n^{-k} \rightarrowto 0 </math> qualunque sia <math>k \in \N</math> non nullo si ha:

:<math>a_n = {{P_p(n)} \over {Q_q(n)}}</math> vale:

* <math>{a_p \over b_q}</math> \ \mathbf{se} \ <math>p = q</math>

* segno <math>\mathrm{segno} \left( {a_p \over b_q} \right) \infty</math> \ \mathbf{se} \ <math>p > q</math>

* <math>0</math> \ \mathbf{se} \ <math>p < q</math>

poiché <math> n ^ {p-q} </math> vale:

* <math>1</math> \ \mathbf{se} \ <math>p = q</math>

* <math>+ \infty</math> \ \mathbf{se} \ <math>p \ge q</math>

* <math>0</math> \ \mathbf{se} \ <math>p \le q</math>

== Note ==