Derivata parziale: differenze tra le versioni

Versione delle 18:05, 8 gen 2019

Versione delle 22:05, 17 gen 2019

Riga 9:

Dette <math>\{\mathbf e_i\}_{1 \le i \le n} </math> e <math>\{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m} </math> le [[base canonica|basi canoniche]] di <math> \mathbb R^n </math> e <math> \mathbb R^m </math> rispettivamente, la funzione può essere scritta nel seguente modo:

:<math>\mathbf{F}(\mathbf x ) = \sum_i^m F_i(\mathbf x ) \mathbf u_i \quad \mathbf x = (x_1,x_2, \dotsldots , x_n) \in E</math>

La componente i-esima della funzione è allora:

Riga 39:

:<math>

f_x ( x_0, y_0 ) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)

{f_x \left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right) = {{\partial f} \over {\partial x}}\left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right) = \mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_o + h,y_{\rm 0} } \right) - f\left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right)} \over h}}

= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h, y_0) - f(x_0, y_0)}h

</math>

Line 45 ⟶ 47:

:<math>

f_y ( x_0, y_0 ) = {\partial f \over \partial y}(x_0, y_0)

{f_y \left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right) = {{\partial f} \over {\partial y}}\left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right) = \mathop {\lim_{k \to 0}} {{f\left( {x_o ,y_{\rm 0} + k} \right) - f\left( {x_{{\rm 0}{\rm ,}} y_{\rm 0} } \right)} \over k}}

= \lim_{k \to 0} \frac{f(x_0, y_0+ k) - f(x_0, y_0)}k

</math>

Se entrambi i limiti esistono finiti, allora la funzione <math>f</math> si dice derivabile in <math>(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2</math>. Il [[Vettore (matematica)|vettore]] che ha per componenti <math>{f_x}</math> e <math>{f_y}</math> è detto [[gradiente]] della funzione <math>f\;</math> in <math>(x_0, y_0)</math>e si indica

<math>

\operatorname{grad}f=\nabla f=(f_x, f_y)

</math>

=== Derivata direzionale ===