Teoria f(R): differenze tra le versioni

Versione delle 10:59, 30 nov 2018

Versione delle 03:38, 31 gen 2019

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Una teoria della gravitazione tipo f(R) tenta di generalizzare la lagrangiana di un'[[Azione di Einstein-Hilbert]]:

:<math>S[g]= \int {1 \over 2\kappa} R \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x </math>, alla forma:<br />

:<math>S[g]= \int {1 \over 2\kappa} f(R) \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x </math>, <br />

:dove:<br />

<math>\kappa\equiv 8\pi G</math>,<br />

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==Metrica di una gravità tipo f(R)==

{{...}}

==Derivazione dell'equazione di campo==

In una teoria della gravitazione tipo f(R), le equazioni di campo sono dedotte in funzione di una metrica quale variabile indipendente, tenendo costante (non trattando) la connessione.

L'azione segue le principali variazioni di un'azione di Einstein-Hilbert, con alcune importanti differenze.

Il determinante della variazione è al solito:<br />

:<math>\delta \sqrt{-g}= -\frac{1}{2} \sqrt{-g} g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}</math>.<br />

Lo Scalare di Ricci è definito come: <br />

:<math> R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}.</math><br />

Perciò, la sua variazione rispetto alla metrica inversa :<math>R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}.</math>,

è data da:<br />

:<math>

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</math>

Dato che <math>\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu}</math> è la differenza fra le due connessioni, questa deve essere esprimibile nella seguente forma tensoriale:<br />

:<math>\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda a}\left(\nabla_\mu\delta g_{a\nu}+\nabla_\nu\delta g_{a\mu}-\nabla_a\delta g_{\mu\nu} \right)</math><br />

Sostituendo nell'equazione precedente, si ha:<br />

:<math>\delta R= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}+g_{\mu\nu}\Box \delta g^{\mu\nu}-\nabla_\mu \nabla_\nu \delta g^{\mu\nu}</math>,<br />

dove:<br />

:<math>\nabla_\mu</math> è la [[derivata covariante]],<br />

:<math>\Box</math> è un [[operatore di d'Alembert]], definito come <math>\Box=g^{\mu\nu}\nabla_\mu \nabla_\nu </math>.

Perciò, la variazione nell'azione diventa:<br />

:<math>

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&= \int {1 \over 2\kappa} \sqrt{-g}\left(F(R)(R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}+g_{\mu\nu}\Box \delta g^{\mu\nu}-\nabla_\mu \nabla_\nu \delta g^{\mu\nu}) -\frac{1}{2} g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} f(R) \right)\, \mathrm{d}^4x

\end{align}

</math>,<br />

dove <math>F(R)=\frac{\partial f(R)}{\partial R}</math>. <br />

Integrando per parti il secondo e terzo termine, otteniamo:<br />

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</math>

Imponendo che l'azione sia invariante rispetto alla metrica, vale a dire imponendo:<br />

:<math> \delta S[g]=0</math>,<br />

si ottengono le equazioni di campo:<br />

:<math>F(R)R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}f(R)g_{\mu\nu}+\left[g_{\mu\nu} \Box-\nabla_\mu

\nabla_\nu \right]F(R) = \kappa T_{\mu\nu}</math>,<br />

dove:<br />