Wikipedia:Oracolo: differenze tra le versioni
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PS: scusate non sono pratico con le formule su wiki, ci ho messo 3 ore per questo scempio :'D. Spero possiate aiutarmi --[[Speciale:Contributi/37.162.89.10|37.162.89.10]] ([[User talk:37.162.89.10|msg]]) 23:11, 20 feb 2019 (CET)
:<small>Ho dato una veloce rassettata alle formule per più facile leggibilità. -- [[Utente:Rojelio|Rojelio]] <small>[[Discussioni utente:Rojelio|(dimmi tutto)]]</small> 00:37, 21 feb 2019 (CET)</small>
::Sei sulla buona strada. In modo del tutto analogo alla definizione usata per i limiti di funzione reale a variabile reale, anche qui il valore di dimostra sulla base di una "sfida":
::* Se affermi che il limite (per modulo della variabile verso infinito) è finito ed è un certo valore "l", devi dimostrare che la tua funzione si avvicina "sempre di più" a quel valore, ovvero che se io impongo una qualsiasi massima distanza <math>\epsilon</math>, piccola a mio piacimento, tu sei sempre in grado di trovare un modulo di z tale per cui da lì in avanti la funzione è sempre più vicina a l del mio vincolo. In formula (e usando i [[quantificatore|quantificatori]] "per ogni" e "esiste"):
::::<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0: |z|>\delta \implies |f(z)-l| < \epsilon</math>
::::"Per ogni sfida epsilon, esiste sempre una soglia delta tale per cui quando il modulo di z supera la soglia delta, la distanza (modulo) tra f(z) e il limite l è più piccola della sfida."
:::Il tuo primo limite ricade in questa categoria. Scrivere z in forma polare (esponenziale) non è in realtà fondamentale per la soluzione; serve prevalentemente a convincersi (se non lo si fosse mai osservato prima) che anche nei complessi vale che il modulo di una potenza è pari alla potenza del modulo originale:
::::<math>|z^n|=|z|^n</math>
:::e che più in generale il modulo di un prodotto/quoziente di complessi è pari al prodotto/quoziente dei moduli dei singoli fattori.
:::Osservo che il modulo della funzione è:
::::<math>|f(z)| = \left|\frac{|z|}{z^2}\right| = \frac{|z|}{|z^2|} = \frac{|z|}{|z|^2} = 1/|z|</math>
:::che ovviamente tende a zero per |z| che tende a infinito. Ma il modulo del valore della funzione non è altro che la sua distanza dall'origine, dallo zero:
::::<math>|f(z)-0| = |f(z)| = 1/|z|</math>
:::Abbiamo quindi dimostrato che quel limite è 0: io ti impongo la sfida (distanza dal limite) <math>|f(z)-0|<\epsilon</math> con epsilon scelto da me arbitrariamente piccolo, e tu rispondi con:
::::<math>|f(z)-0|=1/|z|<\epsilon \implies |z|>1/\epsilon=\delta</math>
:::ovvero con una soglia del modulo di z pari a 1/epsilon, oltrepassata la quale la funzione è ''sempre'' più vicina di epsilon al limite 0.
::* Sul secondo ci hai preso in pieno: è sempre questione di "sfida", solo che questa volta anziché sfidare la funzione ad avvicinarsi sempre di più a un limite finito, si sfida la funzione ad allontanarsi sempre di più dall'origine. E cos'è la distanza di f(z) dall'origine? Come prima: il suo modulo.
:::A quel punto il ragionamento è esattamente il tuo: osservo che <math>|f(z)|=|z|^2</math>, e quindi ogni volta che ti sfido a rimanere a una distanza <math>|f(z)|>\epsilon</math> dall'origine con epsilon scelto da me grande a piacere, tu sei sempre in grado di individuare una soglia delta per il modulo di z <math>|f(z)|=|z|^2>\epsilon \implies |z|>\sqrt\epsilon=\delta</math> oltrepassata la quale la mia sfida è sempre soddisfatta... e il limite è quindi dimostrato tendere all'infinito.
::-- [[Utente:Rojelio|Rojelio]] <small>[[Discussioni utente:Rojelio|(dimmi tutto)]]</small> 01:29, 21 feb 2019 (CET)
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