Radice primitiva modulo n: differenze tra le versioni

Versione delle 16:45, 4 nov 2016

Versione delle 20:23, 1 apr 2019

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*se l'[[ipotesi di Riemann generalizzata]] è vera, allora, per ogni numero primo <math>p</math>, esiste un generatore modulo <math>p</math> minore di <math>70\ln^2 p</math>.

== Dimostrazione dell'esistenza di un generatore modulo ''p''^k, ''p'' dispari ==

La dimostrazione dell'esistenza del generatore procede dapprima provando che essa esiste per ogni numero primo <math>p</math>, poi dimostrando che, se <math>a</math> è una radice primitiva di <math>p</math>, allora o <math>a</math> o <math>p+a</math> è una radice primitiva di <math>p^2</math>, e che questa è poi radice primitiva anche di ogni potenza successiva di <math>p</math>. Infatti, sia <math>a</math> una radice primitiva modulo <math>p</math>. Allora, per definizione di radice primitiva

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:<math>\sum_{(i,p-1)=1} (g^i)^k=\tfrac{\phi(p-1)}{\phi\left(\tfrac{p-1}{k}\right)}\mu(\tfrac{p-1}{k}).</math>

Sia ora <math>k</math> dove <math>(k,p-1)=b</math>, quindi <math>k=ab</math> e <math>(a,p-1)=1</math> pertanto al posto di applicare direttamente la potenza <math>k</math> alle radici primitive, prima applichiamo la potenza <math>a</math> e poi, agli elementi ottenuti, la potenza <math>b</math>. La potenza <math>a</math> manda le radici primitive in sé stesse, la potenza <math>b</math> le fa "restringere" in un sottordine e pertanto, indicando <math>(k,p-1)</math> in luogo di <math>b</math> otteniamo:

:<math>\sum_{(i,p-1)=1} (g^i)^k=\tfrac{\phi(p-1)}{\phi\left(\tfrac{p-1}{(k,p-1)}\right)}\mu(\tfrac{p-1}{(k,p-1)}).</math>

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in quanto ogni coefficiente di <math>p_{2q}(x)</math> è somma di prodotti di <math>s</math> radici opposte a quelle di <math>p_q(x)</math>, quindi il segno dipende dalla parità di <math>s</math> .

Per quanto appena affermato, proponiamoci di determinare il polinomio delle radici di ordine <math>q</math> al fine di determinare quello di ordine <math>2q</math>. Sia <math>h</math> un elemento di ordine <math>q</math> allora tutti gli altri elementi di pari ordine si esprimeranno come <math>h^i</math> con <math>(i,q)=1</math> e <math>q</math>, ricordiamo, è numero primo maggiore di <math>2</math>. Esse saranno pertanto <math>h^1,h^2,h^3,\ldots,h^{q-1}</math> e se ad esse aggiungiamo l'elemento <math>1</math> allora sappiamo che esse sono le radici dell'equazione

:<math>x^q -1 \equiv 0 \pmod{p},</math>