Instabilità fluidodinamica: differenze tra le versioni

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Versione delle 20:06, 9 apr 2019

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In un'analisi temporale, si studia l'evoluzione nel tempo di una perturbazione iniziale: se questa decresce fino ad annullarsi (o comunque se la sua ampiezza rimane costante), la configurazione è stabile; se invece l'ampiezza della perturbazione cresce nel tempo, fino a tendere all'infinito, il sistema è instabile. In casi semplici, la perturbazione può essere considerata come un'[[Onda (fisica)|onda]], di lunghezza λ e di [[numero d'onda]] k = 2π/λ.

In un'analisi spaziale, invece, si vuole studiare l'evoluzione spaziale di un disturbo imposto al sistema da una fonte collocata in una determinata posizione; anche in questo caso, se a valle del disturbo la perturbazione cresce fino all'infinito, il sistema è instabile, se invece decresce e viene riassorbita dal sistema, la situazione è di stabilità. Anche in questo caso, in alcune configurazioni più semplici, il disturbo imposto può essere studiato in forma [[seno (matematica)|sinusoidale]], con una pulsazione pari a ω e un periodo pari a T = 2π/ω

I vantaggi di poter studiare perturbazioni in forma d'onda sinusoidale sono evidenti: l'analisi può essere condotta in tutta generalità, introducendo nel sistema perturbazioni proporzionali a <bigspan style="font-size: 120%;"><math>\exp{ i(kx-wt)}</math></bigspan>. Una volta stabilità la stabilità rispetto ad ogni singola onda di numero k, si può valutare la stabilità davanti ad ogni generica perturbazione semplicemente espandendo quest'ultima in [[serie di Fourier]], o operando una [[trasformata di Fourier]] che la riconduca a perturbazioni sinusoidali.

== La relazione di dispersione ==

Restando nel caso più semplice in cui le perturbazioni possono essere espresse come proporzionali a <bigspan style="font-size: 120%;"><math>\exp{ i(kx-wt)}</math></bigspan>, e limitando la spiegazione al caso di un'analisi temporale, il fine dello studio dell'instabilità fluidodinamica consiste nello stabilire se una perturbazione diverge o no nel tempo. Questo significa trovare, per ogni perturbazione possibile, ovvero per ogni numero d'onda k possibile, il corrispondente valore di ω. Nel caso di un'analisi temporale, k è un [[numero reale]], mentre w è un [[numero complesso]]. La relazione che lega k a ω=ω(k) è detta relazione di dispersione, e viene trovata tramite la risoluzione delle equazione che governano la dinamica del moto perturbato.

Per ogni k, si presentano allora tre possibile casi:

* se il corrispondente ω(k) è un numero reale (cioè se la sua parte immaginaria è nulla), allora l'ampiezza della perturbazione è costante nel tempo, e il sistema è stabile.

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* se il corrispondente ω(k) ha una parte immaginaria negativa, l'ampiezza della perturbazione cresce e il sistema diventa instabile.

Più generalmente, la relazione di dispersione può essere scritta come <bigspan style="font-size: 120%;"><math>D(k,w,R)=0</math></bigspan>

dove R rappresenta un insieme di parametri geometrici e dinamici da cui la stabilità dipende.