Differenze divise: differenze tra le versioni

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{{W|matematica|aprile 2019}}

In [[matematica]], una '''differenza divisa''' è una quantità, definita in modo ricorsivo su punti distinti.

== Definizione ==

Siano <math display="inline">\{x_0, x_1,\dots, x_n\}</math>, <math display="inline">n+1</math> punti assegnati, che inizialmente supponiamo distinti.

Dati <math>k+1</math>punti distinti

: <math>(x_0, y_0),\ldots,(x_{k}, y_{k})</math>

Definiamo la '''differenza divisa di ordine <math display="inline">0</math> di di <math display="inline">f(x)</math>''':

Definiamo le '''differenze divise''' come:

<math>

f[x_0] := y_0 = f(x_0)

</math>

: <math>[y_\nu] := y_\nu, \qquad \nu \in \{ 0,\ldots,k\}</math>

dove una scrittura equivalente per <math>f[x_0]</math>è <math display="inline">A_0</math>.Definiamo la '''differenza divisa di ordine <math display="inline">1</math>''':

: <math>[y_\nu,\ldots,y_{\nu+j}] := \frac{[y_{\nu+1},\ldots , y_{\nu+j}] - [y_{\nu},\ldots , y_{\nu+j-1}]}{x_{\nu+j}-x_\nu}, \qquad \nu\in\{0,\ldots,k-j\},\ j\in\{1,\ldots,k\}.</math>

Definiamo le '''differenze divise all'indietro''' come:

<math>

A_1 = f[x_0,x_1] = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = f[x_1,x_0]

</math>

: <math>[y_\nu] := y_{\nu},\qquad \nu \in \{ 0,\ldots,k\}</math>

che è il [[rapporto incrementale]] <math display="inline">\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> costruito su due punti.

: <math>[y_\nu,\ldots,y_{\nu-j}] := \frac{[y_\nu,\ldots , y_{\nu-j+1}] - [y_{\nu-1},\ldots , y_{\nu-j}]}{x_\nu - x_{\nu-j}}, \qquad \nu\in\{j,\ldots,k\},\ j\in\{1,\ldots,k\}.</math>

== Notazione ==

Definiamo la '''differenza divisa di ordine <math display="inline">2</math>''':

Se i punti <math display="inline">\{x_0, x_1,\dots, x_k\}</math>vengono dati come valori di una funzione <math>f</math>,

: <math>(x_0, f(x_0)),\ldots,(x_{k}, f(x_{k}))</math>

<math>

A_2 = f[x_0,x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}

</math>

si può trovare la notazione

E in generale la '''differenza divisa di ordine <math display="inline">n</math>''':

: <math>f[x_\nu] := f(x_{\nu}), \qquad \nu \in \{ 0,\ldots,k \}</math>

: <math>f[x_\nu,\ldots,x_{\nu+j}] := \frac{f[x_{\nu+1},\ldots , x_{\nu+j}] - f[x_\nu,\ldots , x_{\nu+j-1}]}{x_{\nu+j}-x_\nu}, \qquad \nu\in\{0,\ldots,k-j\},\ j\in\{1,\ldots,k\}.</math>

Altre scritture equivalenti sono:

: <math>[x_0,\ldots,x_n]f,</math>

: <math>[x_0,\ldots,x_n;f],</math>

: <math>D[x_0,\ldots,x_n]f</math>

etc.

== Esempi ==

Differenze divise per <math>\nu=0</math>e i primi valori di <math>j</math>:

: </math>

\begin{align}

\mathopen[y_0] &= y_0 \\

\mathopen[y_0,y_1] &= \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \\

\mathopen[y_0,y_1,y_2]

&= \frac{\mathopen[y_1,y_2]-\mathopen[y_0,y_1]}{x_2-x_0}

= \frac{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}-\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}{x_2-x_0}

= \frac{y_2-y_1}{(x_2-x_1)(x_2-x_0)}-\frac{y_1-y_0}{(x_1-x_0)(x_2-x_0)}

\\

\mathopen[y_0,y_1,y_2,y_3] &= \frac{\mathopen[y_1,y_2,y_3]-\mathopen[y_0,y_1,y_2]}{x_3-x_0}

\end{align}

</math><!-- the \mathopen command is there because latex otherwise thinks that [...] denotes an optional argument -->

Per evidenziare il processo ricorsivo, le differenze divise possono essere messe in forma tabellare

: <math>

\begin{matrix}

x_0 & y_0 = [y_0] & & & \\

& & [y_0,y_1] & & \\

x_1 & y_1 = [y_1] & & [y_0,y_1,y_2] & \\

& & [y_1,y_2] & & [y_0,y_1,y_2,y_3]\\

x_2 & y_2 = [y_2] & & [y_1,y_2,y_3] & \\

& & [y_2,y_3] & & \\

x_3 & y_3 = [y_3] & & & \\

\end{matrix}

</math>

=== Rapporto incrementale ===

doveData una scrittura equivalente perfunzione <math>f[x_0]</math>è, presi due punti <math display="inline">A_0(x_0, f(x_0)),(x_1, f(x_1))</math>.Definiamo, la '''differenza divisa di ordine <math display="inline">1</math>''':

<math>

A_1 = f[x_0,x_1] = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \frac{\Delta f[x_1,x_0]}{\Delta x}

A_n = f[x_0,x_1,\dots, x_n] =

\frac

{f[x_1,x_2,\dots, x_n]-f[x_0,x_1,\dots, x_{n-1}]}

{x_n-x_0}

</math>

dove <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> è il [[rapporto incrementale]] costruito su due punti per la quantità <math>h = x_1 - x_0</math>.

== Invarianza per permutazione ==