Derivata parziale: differenze tra le versioni

Versione delle 02:21, 18 gen 2019

Versione delle 22:37, 24 apr 2019

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[[ImmagineFile:Totalni diferencial geom vyznam.svg|upright=1.4|thumb|La pendenza della retta <math>t_1</math> è data dalla derivata parziale di <math>f</math> rispetto alla prima variabile in <math>(x_0,y_0)</math>. La pendenza della retta <math>t_2</math> è data dalla derivata di <math>f</math> rispetto alla seconda variabile nello stesso punto]]

In [[analisi matematica]], la '''derivata parziale''' è una prima generalizzazione del concetto di [[derivata]] di una [[funzione di variabile reale|funzione reale]] alle funzioni di più variabili. Se per funzioni reali la derivata in un punto rappresenta la pendenza del [[grafico di una funzione|grafico]] della funzione (una [[curva (matematica)|curva]] contenuta nel [[piano cartesiano|piano]] <math>\R^2</math>), la derivata parziale in un punto rispetto alla (ad esempio) prima variabile di una funzione <math>f(x,y)</math> rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva ottenuta intersecando il grafico di <math>f</math> (una [[superficie (matematica)|superficie]] contenuta nello [[spazio euclideo|spazio]] <math>\R^3</math>) con un piano passante per il punto parallelo al piano <math>y=0</math>.

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:<math>F_i(\mathbf x ) = \mathbf F(\mathbf x ) \cdot \mathbf u_i \quad 1 \le i \le m.</math>

Si definisce derivata parziale di <math>F_i</math> rispetto alla variabile <math>x_j</math> il limite:<ref name="WRudin">{{Cita|W. Rudin|Pag. 216|rudin}}</ref>

:<math>\frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} = \lim_{t\to 0} \frac{F_i (\mathbf x + t\mathbf e_j) - F_i (\mathbf x)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{F_i (x_1,x_2, \dots x_j + t, \dots, x_n) - F_i (x_1,x_2, \dots , x_n)}{t}.</math>

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Tale limite è a volte chiamato limite del [[rapporto incrementale]] di <math>f</math> nel punto <math>\mathbf {x}</math>, e viene denotato anche con <math>D_jF_i</math>. La derivata parziale di una funzione, o nel caso di funzione vettoriale di una sua componente, si effettua quindi considerando le variabili diverse da quella rispetto a cui si vuole derivare come costanti e calcolandone il rapporto incrementale.

Se una funzione è [[funzione differenziabile|differenziabile]] in <math>\mathbf {x}</math>, allora tutte le derivate parziali esistono in <math>\mathbf {x}</math>,<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag.name="WRudin" 216|rudin}}</ref> e determinano completamente l'[[applicazione lineare]] <math>\mathbf{L}:\R^n \rightarrow \R^m</math> che permette di approssimare la funzione nel punto:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 213|rudin}}</ref>

:<math>\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} + \mathbf r(\mathbf{h}) </math>