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'''幾何学基礎論'''(きかがくきそろん、{{lang-en-short|''foundation of geometry''}}、{{Lang-de-short|''Grundlagen der Geometrie''}}<ref>{{Cite web |url = https://link.springer.com/article/10.1007/BF02844894|archiveurl = |author = |title = Hilbert's “Grundlagen der Geometrie”|website = link.springer.com|publisher = Springer|date = |archivedate = |accessdate = 2025-05-10}}</ref>)は、[[ユークリッド幾何学]]の公理系に関する研究である。▼
[[平行線公準]]の問題より[[非ユークリッド幾何学]]が生まれたが、それは同時にユークリッド幾何学の厳密性にも疑問<ref>{{Cite web |url = https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/S57-hitotumatu.pdf |archiveurl = https://web.archive.org/web/20220308045402/https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/S57-hitotumatu.pdf |author = |title = もちろん現代の目から見れば不備もある|website = www.kurims.kyoto-u.ac.jp|publisher = |date = |archivedate = 2022-03-08|accessdate = 2024-08-27}}</ref>が投げかけられることでもあった。すなわち、
▲'''幾何学基礎論'''(きかがくきそろん、{{lang-en-short|''foundation of geometry''}}、{{Lang-de-short|''Grundlagen der Geometrie''}})は、[[ユークリッド幾何学]]の公理系に関する研究である。
*無矛盾な幾何学を作るにはどのような公理系が必要であるか?<ref>『新 数学の学び方』 小平邦彦編 岩波書店刊 ISBN 978-4-00005-470-6 p.9</ref><ref>『幾何のおもしろさ』数学入門シリーズ7 小平邦彦著 岩波書店刊 ISBN 978-4-00007-637-1 pp.158-164</ref>
*更にそれらの公理系から構成される幾何学はどのような構造を持つか?<ref>{{Cite web |url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10011305.html |archiveurl = |author = |title = ヒルベルト幾何学の基礎|website = www.kyoritsu-pub.co.jp|publisher = 共立出版|date = |archivedate = |accessdate = 2024-08-27}}</ref>
*それらの複数の異なる公理系の幾何学の体系間の関係はどうなっているのか?<ref>{{Cite web |url = https://sciendo.com/article/10.2478/forma-2014-0017 |title = Tarski Geometry Axioms|website = sciendo.com|publisher = |date = |accessdate = 2022-11-16}}</ref><ref>{{Cite web |url = https://www.ms.uky.edu/~droyster/courses/fall11/MA341/axioms/Birkhoff.htm|title = Birkhoff’s Axioms for Euclidean Geometry|website = www.ms.uky.edu|publisher = |date = |accessdate = 2022-11-16}}</ref><ref>{{Cite web |url = https://archive.ph/7uuNA|title = SMSG's Axioms|website = ncatlab.org|publisher = |date = |accessdate = 2022-11-16}}</ref>
という疑問を解決すべく幾何学基礎論の研究が進められてゆくこととなる。
同時期には[[ラッセルのパラドックス]]にみられるように集合論でも似たような問題が起こり、数学の基礎そのものに疑問が持たれる時代であったが、ヒルベルトは[[形式主義 (数学)|形式主義]]に基づく方法によって、これらの問題を解決すべく[[:en:Hilbert's axioms|ヒルベルトの公理系]]を考案した。彼の著した『幾何学基礎論<ref>{{Cite web |url = https://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480089533/ |archiveurl = |author = |title = 幾何学基礎論|website = www.chikumashobo.co.jp|publisher = ちくま学芸文庫|date = |archivedate = |accessdate = 2025-05-10}}</ref>』はユークリッド幾何学の公理系を最も厳密に吟味した著作としても有名である。
また更に現代的なものとして[[:en:Tarski's axioms|タルスキの公理系]]<ref>{{Cite web |url = https://intapi.sciendo.com:443/pdf/10.1515/forma-2016-0012|archiveurl = https://web.archive.org/web/20240414023348/https://intapi.sciendo.com:443/pdf/10.1515/forma-2016-0012|author = |title = タルスキの公理系|website = intapi.sciendo.com|publisher = |date = |archivedate = 2024-04-14|accessdate = 2025-05-10}}</ref>がある。"Metamathematische Methoden in der Geometrie"<ref>{{Cite web |url = https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-69418-9 |archiveurl = |author = |title = Metamathematische Methoden in der Geometrie|website = link.springer.com|publisher = |date = |archivedate = |accessdate = 2025-05-10}}</ref>でその詳細を確認できる。
==参考文献==
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*[[ユークリッド幾何学]]
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== 脚注 ==
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=== 出典 ===
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==外部リンク==
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*{{Kotobank|幾何学基礎論}}
*[http://www.gutenberg.org/ebooks/17384 幾何学基礎の英訳のTeX、PDF版 (無料)]
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[[Category:幾何学]]
[[Category:初等幾何学]]
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