Wikipedia:Oracolo: differenze tra le versioni

Versione delle 13:10, 14 mag 2019

Versione delle 13:11, 14 mag 2019

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[[File:Line_integral_of_scalar_field.gif|thumb]]

:Questa operazione può essere generalizzata a un integrale calcolato lungo una qualsiasi linea in un dominio multidimensionale. Nel seguito farò riferimento all'immagine qui a destra (chi ha fatto quell'animazione è ufficialmente il mio nuovo eroe).

:Prendiamo una funzione in più dimensioni (diciamo due per fissare le idee: f(x,y) ) e un segmento di curva "l"C compreso tra due punti estremi "A" e "B". Ogni punto di quella curva ha le sue coordinate (x,y) e in quel punto la funzione ha valore f(x,y), esattamente come in una sola dimensione ogni punto della curva "asse delle ascisse" ha la sua coordinata x, cui corrispondeva un valore della funzione f(x). Svolgiamo quindi la stessa operazione: percorriamo la curva da un estremo all'altro, e sommiamo la lunghezza di ogni frammentino "dlds" della curva (che ora è un piccolo vettore; "s" scelto per "spostamento" lungo la curva), ciascuno pesato in base al valore della funzione integranda in quel punto.

:Per "vedere" geometricamente il calcolo che si sta facendo bisogna immaginare di "affettare" verticalmente il grafico della la funzione (che è una superficie, è bidimensionale) lungo la curva, come se fosse un pandoro. Se "distendi" la sezione in modo che la curva lungo la quale integriamo diventi dritta come un asse delle ascisse, torniamo al caso ben noto: l'area della superficie laterale della fetta lungo il taglio corrisponde alla solita area compresa tra grafico della funzione e asse. Questo è l'integrale di linea (quello "di prima specie", per essere precisi: ce n'è anche un'altro, ma concettualmente è identico).

:Spero che ora sia più chiaro perché non abbia senso chiedere "l'integrale di linea della funzione f(x,y)". In realtà ti servono ''due'' funzioni: