Campo dei quozienti: differenze tra le versioni

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Versione delle 04:22, 29 giu 2019

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In [[algebra]], il '''campo dei quozienti''' o '''campo delle frazioni''' o '''campo quoziente''' di un [[dominio d'integrità]] unitario <math>D</math> è un [[campo (matematica)|campo]] <math>F</math> tale che ogni elemento di <math>F</math> può essere scritto come iluna prodottofrazione <math>ab^{-1}a/b</math>, dove <math>a</math> e <math>b</math> sono elementi di <math>D</math> e <math>b</math> è diverso dallo zero di <math>D</math>, e dove la frazione <math>a/b</math> è definita (mediante la costruzione descritta nel seguito) come una classe di equivalenza di coppie <math>(a,b)</math>.

Ad esempio, l'insieme <math>\Q</math> dei [[numero razionale|numeri razionali]] è il campo dei quozienti dell'insieme <math>\Z</math> dei [[numero intero|numeri interi]]. Il campo delle frazioni di un campo <math>F</math> coincide con sé stesso.

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:<math>(a,b)\sim (c,d) \iff ad=bc.</math>

Nell'[[insieme quoziente]] <math>F</math> di questa relazione si definiscono poi le due operazioni tra [[Relazione di equivalenza|classi di equivalenza]]

:<math>\overline{[(a,b)}]+\overline{[(c,d)}]=\overline{[(ad+bc,bd)}],</math>

:<math>\overline{[(a,b)}]\cdot\overline{ [(c,d)}]=\overline{[(ac,bd)}].</math>

che sono operazioni interne e definite in <math>F</math> e danno ad esso la struttura di campo. All'interno di <math>F</math> gli elementi del tipo <math>\overline{[(a,1)}]</math> rappresentano gli elementi di <math>D</math>, ovvero l'insieme <math>D^*=\{\overline{ [(a,1)}] | a\in D\}\subset F</math> è una [[isomorfismo|copia isomorfa]] di <math>D.</math>

L'elemento di <math>F</math> costituito dalla classe di equivalenza <math>[(a,b)]</math> di una coppia <math>(a,b)</math> viene anche indicato col simbolo di frazione <math>a/b</math>.<ref>può essere indicato anche come <math>ab^{-1}</math>, dove (con abuso di notazione) si usano i simboli di elementi di <math>D</math> per indicare gli elementi di <math>D^*</math> ad essi corrispondenti, e dunque <math>b^{-1}</math> è ben definito essendo l'inverso moltiplicativo, in <math>F</math>, di <math>[(b,1)]</math>.</ref>

== Proprietà ==

Il campo dei quozienti di un dominio d'integrità assegnato è unico, ovvero tutti i campi dei quozienti di un dato dominio d'integrità unitario sono isomorfi tra loro; inoltre i campi dei quozienti di due domini d'integrità unitari isomorfi sono a loro volta isomorfi.

== Note ==

{{reflist}}

== Bibliografia ==