Modulo piatto: differenze tra le versioni

Versione delle 22:55, 27 nov 2017

Versione delle 07:56, 30 giu 2019

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Se ''S'' è un sottoinsieme di ''A'' moltiplicativamente chiuso e contenuto nel suo [[centro (matematica)|centro]], la [[localizzazione di un anello|localizzazione]] <math>S^{-1}A</math> di ''A'' è un ''A''-modulo piatto; di conseguenza, le localizzazioni di un modulo piatto sono ancora piatte.

Se ''x'' è un elemento nel centro di ''A'' e non è uno zerodivisore, allora ''A/xA'' è un esempio di modulo che non è piatto: questo può essere visto a partire dalla successione esatta

:<math>0\longrightarrow A\longrightarrow^x A\longrightarrow A/xA\longrightarrow 0</math>

perché, nella successione tensorizzata

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In particolare, se ''A'' è [[anello commutativo|commutativo]], tutte le localizzazioni <math>S^{-1}A</math> sono piatte; la piattezza è inoltre una ''proprietà locale'', nel senso che ''M'' è un modulo piatto se e solo la localizzazione ''M_P'' è piatta per ogni [[ideale primo]] ''P''. Se ''A'' è anche [[dominio d'integrità|integro]], nessun [[anello quoziente|quoziente]] ''A/I'' è piatto; ampliando il ragionamento precedente, su un dominio d'integrità tutti i moduli piatti sono privi di [[sottogruppo di torsione|torsione]].

Ogni [[modulo libero]] e ogni [[modulo proiettivo]] sono piatti; il viceversa non è vero in generale, sebbene un modulo piatto [[finitamente presentato]] sia proiettivo.<ref>{{cita|Weibel|p.71}}.</ref>

== Anelli assolutamente piatti ==

Un anello ''A'' tale che tutti gli ''A''-moduli sinistri sono piatti è detto ''assolutamente piatto'' (o ''von Neumann regolare''); se questo avviene, allora anche tutti gli ''A''-moduli destri sono piatti. Equivalentemente, ''A'' è assolutamente piatto se per ogni ''a'' esiste un ''x'' tale che ''axa'' = ''a''; un'altra condizione equivalente è che tutti gli [[ideale (matematica)|ideali]] principali di ''A'' sono idempotenti, cioè sono tali che <math>I^2=I</math>.<ref>{{SpringerEOM|titolo=Flat module|autore=V.E. Govorov}}</ref><ref name=abs-weib>{{cita|Weibel|p.97-98}}.</ref>

Tra gli anelli commutativi, un [[anello locale]] è assolutamente piatto se e solo se è un campo;<ref>{{cita|Clarke|p.117-118}}.</ref> in generale, un anello commutativo è assolutamente piatto se e solo se è [[anello ridotto|ridotto]] e ha [[dimensione di Krull|dimensione]] 0.<ref name=abs-weib/>

Un esempio di anello assolutamente piatto è qualunque [[anello booleano]].