Funzione differenziabile: differenze tra le versioni

Versione delle 00:30, 2 lug 2007

Versione delle 17:49, 28 ago 2007

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Una funzione può essere "differenziabile <math> k </math> volte": più volte una funzione è differenziabile, e più il suo grafico è "liscio" e regolare. Si parla in questo caso di funzione di [[Classe C di una funzione|classe]] <math>C^k</math>. Una funzione "differenziabile infinite volte" è detta '''[[funzione liscia|liscia]]'''. Nell'[[analisi funzionale]] le distinzioni fra le varie classi <math> C^k </math> sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica come in [[geometria differenziale]] queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine ''funzione differenziabile'' per definire una funzione liscia.

==Cenni preliminari==

Prima di dare una definizione rigorosa del differenziale di una funzione, facciamo qualche considerazione intuitiva di tipo fisico e geometrico.

Supponiamo di avere una grandezza scalare s definita su uno spazio euclideo <math>V=E^n</math> su campo reale <math>\mathbb R</math>. Ad ogni vettore <math>\mathbf v</math> di V corrisponde pertanto uno scalare s, secondo una funzione:

:<math>f: E^n \rightarrow \mathbb R</math>

:<math>f: \bar v \rightarrow s</math>

:<math>s = f( \mathbf{v} )</math>

Intuitivamente se la funzione f è abbastanza "regolare" nell'intorno di un certo vettore <math>\mathbf v_0</math> nell'intorno di quel vettore dovrebbe essere possibile definire una relazione che simbolicamente potrebbe essere resa nel modo seguente:

:<math>ds = \frac{ds}{d \mathbf{v}} d \mathbf{v} </math>

dove compare l'oggetto <math>ds / {d \mathbf{v}}</math>, che - sebbene non sia ancora stato definito - possiamo genericamente chiamare "rapporto differenziale fra uno scalare e un vettore", o anche - per ragioni che saranno più chiare in seguito - "derivata (totale) di uno scalare rispetto a un vettore".

Si tratta ora di definire in modo rigoroso quella relazione simbolica.

Innanzi tutto, visto che <math>d \mathbf{v} </math> è un vettore e ds è uno scalare, al secondo membro avremo il prodotto fra due oggetti di cui uno è un vettore, il quale prodotto dovrà dare uno scalare. Si tratterà dunque di un prodotto scalare:

:<math>ds = \frac{ds}{d \mathbf{v}} \cdot d \mathbf{v} </math>

e l'oggetto che abbiamo indicato con <math>ds / {d \mathbf{v}}</math> dovrà pertanto essere un vettore.

==Definizione==