Funzione differenziabile: differenze tra le versioni
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:<math>f: \bar v \rightarrow s</math>
:<math>s = f( \mathbf{v} )</math>
La grandezza s è dunque ciò che in fisica viene chiamato un campo scalare, e la funzione f descrive matematicamente tale campo.
Intuitivamente se la funzione f è abbastanza "regolare" nell'intorno di un certo vettore <math>\mathbf v_0</math> nell'intorno di quel vettore dovrebbe essere possibile definire una relazione che simbolicamente potrebbe essere resa nel modo seguente:
:<math>ds = \frac{ds}{d \mathbf{v}} d \mathbf{v} </math>
dove compare l'oggetto <math>ds / {d \mathbf{v}}</math>, che - sebbene non sia ancora stato definito - possiamo genericamente chiamare "rapporto
Si tratta ora di definire in modo rigoroso quella relazione simbolica.
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e l'oggetto che abbiamo indicato con <math>ds / {d \mathbf{v}}</math> dovrà pertanto essere un vettore.
Scrivendo esplicitamente la grandezza scalare s come funzione dei vettori di V, tale relazione diventa:
:<math>df( \mathbf{v_0} ) = \frac{df}{d \mathbf{v}} ( \mathbf{v_0} ) \cdot d \mathbf{v} </math>
dove compare l'oggetto <math>df / {d \mathbf{v}} ( \mathbf{v_0} )</math>, che possiamo genericamente chiamare "derivata (totale) di f rispetto a <math>\mathbf v</math> calcolata nel punto <math>\mathbf{v_0}</math>.
Dal momento che tale grandezza deve essere un vettore di V, bisogna che <math>df / {d \mathbf{v}}</math> sia una funzione che ad ogni vettore di V associa un altro vettore:
:<math>\frac{df}{d \mathbf{v}} : E^n \rightarrow E^n</math>
ed è quindi quello che in fisica chiameremmo un campo vettoriale.
Possiamo anche descrivere tutto ciò affermando che <math>d / {d \mathbf{v}}</math> è un operatore che trasforma un campo scalare f in un campo vettoriale <math>df / {d \mathbf{v}}</math>.
==Definizione==
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