Funzione differenziabile: differenze tra le versioni
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:<math>df( \mathbf{v_0} ) = \frac{df}{d \mathbf{v}} ( \mathbf{v_0} ) \cdot d \mathbf{v} </math>
dove compare l'oggetto <math>df / {d \mathbf{v}} ( \mathbf{v_0} )</math>, che possiamo genericamente chiamare "derivata (totale) di f rispetto a <math>\mathbf v</math> calcolata nel punto <math>\mathbf{v_0}</math>".
Dal momento che tale grandezza deve essere un vettore di V, bisogna che <math>df / {d \mathbf{v}}</math> sia una funzione che ad ogni vettore di V associa un altro vettore:
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Possiamo anche descrivere tutto ciò affermando che <math>d / {d \mathbf{v}}</math> è un operatore che trasforma un campo scalare f in un campo vettoriale <math>df / {d \mathbf{v}}</math>.
A questo punto possiamo cercare di dare una definizione matematica di questo oggetto. Infatti, come è noto e come è espresso anche dalla relazione formale che abbiamo scritto, il differenziale di una funzione corrisponde alla parte lineare della sua variazione. Dunque dovremo avere:
:<math>f( \mathbf{v_0} + \mathbf{h} ) = f(\mathbf{v_0}) + df(\mathbf{v_0}) \cdot \mathbf{h} + O(|\mathbf{h}|^2)</math>
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