Flusso: differenze tra le versioni

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Il '''flusso''' di un [[campo vettoriale]] attraverso una [[superficie (matematica)|superficie]] orientata, in [[matematica]] e [[fisica]], è l'[[integrale di superficie]] del [[prodotto scalare]] del campo con il [[versore]] normale della superficie, esteso su tutta la superficie stessa.

Una qualsiasi superficie ''S'' nello spazio tridimensionale può essere, almeno localmente, orientata attribuendo ad ogni elemento di superficie infinitesimo <math>\mbox{d}S</math> un versore <math>\hat{\mathbf n}</math> ad esso perpendicolare, secondo la [[regola della mano destra|convenzione della mano destra]]; si può pertanto definire la superficie infinitesima orientata:

:<math>\vec{\mbox{d}\mathbf{S}=\hat{\mathbf n} \mbox{d}S</math>

Il termine ''flusso'' deriva originariamente dall'[[idrodinamica]], con riferimento alla [[portata|portata volumetrica]];, tuttavia il flusso, in quanto concetto matematico, non rappresenta necessariamente il passaggio di [[energia]] o di [[Materia (fisica)|materia]]. Spesso gli integrali di flusso sono impiegati assieme ad altri importanti risultati matematici di [[calcolo vettoriale|analisi vettoriale]], quali il [[teorema della divergenza]] e il [[teorema del rotore]], che spesso permettono il calcolo di un flusso senza doverlo svolgere esplicitamente.

In [[fisica]] la '''densità di flusso '''di una data [[grandezza fisica]] è usata in presenza di [[fenomeni di trasporto]] (le grandezze coinvolte possono essere per esempio il [[calore]]<ref>{{en}} [http://goldbook.iupac.org/H02755.html IUPAC Gold Book, "heat flux"]</ref> o la [[Massa (fisica)|massa]]) e rappresenta la quantità della grandezza che attraversa nell'unità di tempo una data superficie (perpendicolare rispetto alla direzione in cui avviene il trasporto della grandezza) diviso l'area della superficie considerata.<ref>{{en}} [http://goldbook.iupac.org/F02461.html IUPAC Gold Book, "flux"]</ref>

== DefinizioniDefinizione ==

[[File:Flux diagram - it.svg|thumb|L'immagine illustra come il flusso di un campo attraverso una superficie dipenda dall'intensità del campo, dall'estensione della superficie e dalla loro rispettiva orientazione.]]

Sia <math>D\subset\mathbb{R}^2</math> un dominio connesso, <math>(x_0, y_0)\in D</math>, <math>\phi\colon D\to\mathbb{R}^3</math> una [[Superficie parametrica|superficie regolare]] di [[Derivabilità|classe]] <math>\mathcal{C}^1</math> parametrizzata in <math>\mathbb{R}^3</math>, <math>\Sigma = \operatorname{Im}\phi</math>, <math>\mathbf{F}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to \mathbb{R}^3</math> campo vettoriale continuo e limitato, <math>\hat{\mathbf n}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to\mathbb{R}^3</math> un campo vettoriale tale che <math>\hat{\mathbf n}(x_0, y_0)=\nu(x_0, y_0)</math>, dove <math>\nu(x,y)</math> è la [[Superficie parametrica#Piano tangente|normale unitaria canonica]] della superficie. È detto '''flusso''' di <math>\mathbf F</math> attraverso <math>\Sigma</math> la funzione scalare

In [[algebra lineare]] quando un ''campo scalare'' <math>\Phi_S</math> e un ''campo vettoriale'' (non necessariamente tridimensionale) '''<math>\vec \phi (\vec r, t) </math>''' stanno fra loro nella relazione:

:<math>\Phi_SPhi_\Sigma(\mathbf F) = \int_Sint_\Sigma \veclangle \phimathbf F, \hat{\mathbf n}\rangle \operatorname{dS} = \int_\Sigma \mathbf F \cdot \operatorname d \vecmathbf sS</math>,

Esplicitando il [[prodotto scalare]], appare chiaro che il flusso elementare <math>\operatorname d\phi F</math> è nullo se il campo <math>\vec\phi</math> in quel punto il campo e la superficie elementare <math>\operatorname d \mathbf S</math> sono [[perpendicolari]]; è massimo o minimo se sono rispettivamente paralleli o antiparalleli.

con S una qualsiasi [[ipersuperficie|superficie nello spazio di riferimento]]; <math>\Phi_S</math> viene definito ''flusso'' di '''<math>\vec \phi</math>''', e viceversa '''<math>\vec \phi</math>''' viene definito '''campo''' di <math>\Phi_S</math>:

== Grandezze correlate ==

:<math>\vec \phi = \frac {\partial \Phi_S}{\partial \vec S}</math>,

=== TrasportoDensità di materiaflusso ===

Esplicitando il [[prodotto scalare]] appare chiaro che il flusso elementare <math>\operatorname d\phi</math> è nullo se il campo <math>\vec\phi</math> in quel punto e la superficie elementare <math>\operatorname d \mathbf S</math> sono [[perpendicolari]]; è massimo o minimo se sono rispettivamente paralleli o antiparalleli.

In [[fisica]] la '''densità di flusso '''di una data [[grandezza fisica]] è usata in presenza di [[fenomeni di trasporto]] (lee grandezzerappresenta coinvoltela possonoquantità esseredella grandezza che attraversa nell'unità di tempo una data superficie. Essa viene definita come la [[portata]] di una data grandezza, per esempio il [[calore]]<ref>{{en}} [http://goldbook.iupac.org/H02755.html IUPAC Gold Book, "heat flux"]</ref> o la [[Massa (fisica)|massa]]), ediviso rappresenta la quantitàl'area della grandezza che attraversa nell'unità di tempo una data superficie (perpendicolare rispetto alla direzione in cui avviene il trasporto della grandezza) diviso l'area della superficie considerata.<ref>{{en}} [http://goldbook.iupac.org/F02461.html IUPAC Gold Book, "flux"]</ref>

Si possono incontrare grandezze di questo tipo di [[trasporto di materia]], per il quale le densità di flusso possono essere espresse nel [[Sistema internazionale di unità di misura|Sistema Internazionale]] dalle seguenti [[unità di misura]] :

Si definisce invece ''fluenza'' il campo vettoriale dato dall'integrale del campo su un periodo di tempo:

* densità di flusso di massa: <math>\vec[kg \Phi_T=\int_Tcdot \vecm^{-2} \phi \operatorname dcdot ts^{-1}]</math>,

* densità di flusso di quantità di materia: <math>[mol \cdot m^{-2} \cdot s^{-1}]</math>

Il concetto di densità di flusso molare viene utilizzato ad esempio dalle [[Leggi di Fick]] sulla [[diffusione di materia]].

== Applicazioni ==

=== Fluenza ===

Il termine ''flusso'' deriva originariamente dall'[[idrodinamica]], con riferimento alla [[portata]]; tuttavia il flusso, in quanto concetto matematico, non rappresenta necessariamente il passaggio di [[energia]] o di [[Materia (fisica)|materia]]. Spesso gli integrali di flusso sono impiegati assieme ad altri importanti risultati matematici di [[calcolo vettoriale|analisi vettoriale]], quali il [[teorema della divergenza]] e il [[teorema del rotore]], che spesso permettono il calcolo di un flusso senza doverlo svolgere esplicitamente.

Si definisce invece '''fluenza''' il campo vettoriale dato dall'integrale del campo su un periodo di tempo:

:<math>\vec \phi Phi_t= \fracint_t {\partialmathbf F \Phi_S}{\partialoperatorname \vecd S}t</math>,

Alcune [[Grandezza fisica|grandezze fisiche]] (necessariamente [[grandezza vettoriale|vettoriali]]) delle quali si calcola spesso il flusso attraverso una superficie sono il [[forza di gravità|campo gravitazionale]] ed il [[campo elettrico]]: il calcolo del flusso di questi campi attraverso una superficie chiusa risulta spesso facilitato dal [[teorema del flusso|teorema di Gauss]], per via della loro particolare struttura. Nel caso del [[campo magnetico]] il flusso attraverso una superficie chiusa è identicamente nullo (si dice che il campo magnetico è [[campo vettoriale solenoidale|solenoidale]]).

== Applicazioni ==

=== Trasporto di materia ===

Spesso gli integrali di flusso sono impiegati assieme ad altri importanti risultati matematici di [[calcolo vettoriale|analisi vettoriale]], quali il [[teorema della divergenza]] e il [[teorema del rotore]], che spesso permettono il calcolo di un flusso senza doverlo svolgere esplicitamente.

Nel caso di [[trasporto di materia]], il flusso può essere espresso dalle seguenti [[unità di misura]] nel [[Sistema internazionale delle unità di misura]]:

* flusso in massa: kg/m²·s

* flusso in moli: mol/m²·s

Alcune [[Grandezza fisicavettoriale|grandezze fisiche]] (necessariamente [[grandezza vettoriale|vettoriali]]) delle quali si calcola spesso il flusso attraverso una superficie sono il [[forza di gravità|campo gravitazionale]] ed il [[campo elettrico]]:. ilIl calcolo del flusso di questi campi attraverso una superficie chiusa risulta spesso facilitato dal [[teorema del flusso|teorema di Gauss]], per via della loro particolare struttura. Nel caso del [[campo magnetico]] il flusso attraverso una superficie chiusa è identicamente nullo (si dice che il campo magnetico è [[campo vettoriale solenoidale|solenoidale]]).

Il concetto di flusso molare viene utilizzato ad esempio dalle [[Leggi di Fick]] sulla [[diffusione di materia]].

=== Trasporto di caricamateria ===

Il significato concreto del flusso diventa evidente quando si considerano fluidi [[Corpo continuo|continui]] (ad esempio, liquidi e gas). Prendiamo una superficie infinitesima <math>d S</math> nello spazio: intendiamo calcolare il volume <math>dvdV</math> di [[fluido]] che transita attraverso quella superficie nella direzione <math>\hat{\mathbf n}</math>, nel tempo <math>dt</math>. Dato che in prossimità della superficie la sostanza si muove a velocità <math>\mathbf v</math>, <math>dvdV</math> è dato semplicemente dal volume del solido che ha <math>\operatorname d \mathbf S</math> come base e <math>\mathbf v dt</math> come altezza, cioè

: <math>\operatorname dvdV = \operatorname d \mathbf S \cdot \mathbf v \mbox{d}t</math>

Il significato concreto del flusso diventa evidente quando si considerano fluidi [[Corpo continuo|continui]] (ad esempio, liquidi e gas). Prendiamo una superficie infinitesima <math>d S</math> nello spazio: intendiamo calcolare il volume <math>dv</math> di [[fluido]] che transita attraverso quella superficie nella direzione <math>\hat n</math>, nel tempo <math>dt</math>. Dato che in prossimità della superficie la sostanza si muove a velocità <math>\mathbf v</math>, <math>dv</math> è dato semplicemente dal volume del solido che ha <math>\operatorname d \mathbf S</math> come base e <math>\mathbf v dt</math> come altezza, cioè

esso è positivo se la sostanza fluisce lungo una direzione concorde con <math>\hat{\mathbf n}</math>, negativo altrimenti. Il caso limite è quello in cui il fluido scorre parallelamente alla superficie e il volume che transita attraverso <math>d S</math> è nullo, come è logico aspettarsi. Se si assegna al fluido, ad esempio, una densità di [[carica elettrica]] <math>\rho_e</math>, la ''carica'' che attraversa la superficie infinitesima in <math>dt</math>, su unità di tempo, sarà

: <math>\operatorname dv = \operatorname d \mathbf S \cdot \mathbf v \mbox{d}t</math>

In idrodinamica il flusso della velocità del fluido prende il nome di [[Portata|portata volumetrica]], che rappresenta in pratica il volume del fluido che transita attraverso la sezione nell'unità di tempo, inoltre la corrispondente densità di flusso volumetrico coincide con la velocità stessa.

esso è positivo se la sostanza fluisce lungo una direzione concorde con <math>\hat n</math>, negativo altrimenti. Il caso limite è quello in cui il fluido scorre parallelamente alla superficie e il volume che transita attraverso <math>d S</math> è nullo, come è logico aspettarsi. Se si assegna al fluido, ad esempio, una densità di [[carica elettrica]] <math>\rho_e</math>, la ''carica'' che attraversa la superficie infinitesima in <math>dt</math>, su unità di tempo, sarà

Il volume di fluido che attraversa la sezione nel tempo <math>dt</math>, si ottiene sommando i singoli contributi, cioè calcolando il flusso della velocità su quella superficie:

: <math>\rho_e \frac{\operatorname dv}{\operatorname dt}</math>

cioè :<math>\mathbfdot J_eV \cdot= \operatorname dint_S \mathbf S</math>,v dove\cdot <math>\mathbfoperatorname J_e = \rho_ed \mathbf vS</math> è la [[densità di corrente]] elettrica.

=== Elettrodinamica ===

Un discorso simile vale per la massa, o per altre grandezze simili; in idrodinamica addirittura la densità di corrente, riferendosi al volume fisico di liquido che scorre attraverso una data sezione, coincide con la velocità e prende il nome di [[portata]] volumetrica (rappresenta in pratica il volume del fluido che transita attraverso la sezione nell'unità di tempo). La quantità di carica, di massa etc. che attraversa una qualunque superficie finita nel tempo <math>dt</math> (sempre su unità di tempo), si ottiene sommando i singoli contributi, cioè facendo il flusso della densità di corrente su quella superficie: ad esempio, sempre in fluidodinamica, la portata di massa, cioè la massa di fluido che transita attraverso la ''S'' superficie nell'unità di tempo, è data da:

Assimilando il moto di una densità di [[carica elettrica]] <math>\rho_e</math> a quello di un fluido, la ''carica'' che attraversa la superficie infinitesima in <math>dt</math>, su unità di tempo, sarà

: <math>I_m = \int_S \rho \mathbf v \cdot \operatorname d \mathbf S</math>

: <math>\rho_e \frac{\operatorname dvdV}{\operatorname dt}</math>

dove &rho; rappresenta la [[densità]] del fluido. Si nota che se quest'ultima è in ogni punto costante nel tempo, per la [[legge della conservazione della massa (fisica)|legge di conservazione della massa]] la portata attraverso una qualunque sezione del tubo è costante: ciò implica che il flusso di <math>\rho \mathbf v</math> attraverso una qualsiasi superficie chiusa è sempre nullo.

cioè <math>\mathbf J_e \cdot \operatorname d \mathbf S</math>, dove <math>\mathbf J_e = \rho_e \mathbf v</math> è la [[densità di corrente]] elettrica.

=== Elettrodinamica ===

Un altro importante esempio nell'ambito dell'[[elettrodinamica]] è quello del [[vettore di Poynting]], il cui flusso è la potenza elettromagnetica trasportata dall'onda:

: <math> P(t)=\int_S \mathbf E(t) \times \mathbf H(t) \cdot \operatorname d \mathbf s</math>,